Diedro 3

Seja E1 U E2 um diedro de aresta KM tal que as semirretas AB e PQ estão em E1 e AC e PR estão em E2.


a) Se a medida dos ângulos MÂB e KÂC é 90°, podemos afirmar que BÂC é um ângulo plano do diedro? Justique.

b) Se a medida do ângulo RPQ é 90°, podemos afirmar que PQ // AB? Justifique.

KM é o vértice do diedro.

a)
SIM. Por construção as semirretas AB e AC são perpendiculares ao vértice do diedro. Se trabalharmos o diedro como uma dobradiça e fecharmos o semiplano E2 sobre E1, aquelas semirretas serão coincidentes. Ou se abrimos o ângulo diédrico em 180°, E1 e E2 serão um único plano cortado pela reta KM e assim, devido à perpendicularidade da construção, aquelas duas semirretas passarão a ser uma única reta CAB.

b)
NÃO. Não podemos nem mesmo afirmar que o ângulo diédrico é de 90°.
Independente do ângulo do diedro, duas semirretas (uma em cada face) que se encontrem num mesmo ponto do vértice podem ter entre elas qualquer ângulo MAIOR que 0° e MENOR que 180°. Quanto mais elas se aproximarem da reta do vértice pelo mesmo lado, mais esse ângulo se aproxima do 0°; e quanto se aproximarem daquele vértice por lados opostos, mais o ângulo tende a 180°. Se por acaso as semirretas são perpendiculares ao vértice, então elas têm o ângulo diédrico.

Portanto PQ e AB poderiam até ser paralelas mas isto não é garantido apenas com a informação dada do ângulo R^PQ.

Agora, se o enunciado também informasse que o ângulo do diedro é de 90°, aí teríamos não só PQ // AB mas também PR // AC.