funções trigonométricas

por Emersonsouza Sáb 11 Mar 2017, 10:39

Seja ƒ(x)= 5sen²x+3cosxsenx +7cos²x,ƒ:R--->R.Determine o conjunto imagem da função ƒ.

Gabarito:[6-(√13)/2 ,6+(√13)/2]

por **Elcioschin** Sáb 11 Mar 2017, 13:01

Uma começo de tentativa

ƒ(x)= 5.sen²x + 3.cosx.senx + 7.cos²x

ƒ(x)= 5.sen²x + 5.cos²x + 3.cosx.senx + 2.cos²x

ƒ(x)= 5.(sen²x + cos²x) + cosx.(3.senx + 2.cosx)

ƒ(x)= 5 + cosx.(3.senx + 2.cosx)

Truque do triângulo retângulo com catetos 2, 3 e hipotenusa √(2² + 3²) = √13

ƒ(x)= 5 + cosx.√13.[(3/√13).senx + (2/√13).cosx)]

Seja cosθ = 3/√13 e senθ = 2/√13:

ƒ(x)= 5 + cosx.√13.(senx.cosθ + senθ.cosx)

ƒ(x)= 5 + cosx.√13.sen(x + θ)

A imagem tanto de cosx quanto de sen(x + θ) é [-1, 1]

Lembre-se também que cosx = sen(90º - x).
Com isto podemos usar prostaférese: senp + senq = 2.sen[(p + q)/2].cos[(p - q)/2]

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