Espcex 1994

por Kowalski Ter 28 Fev 2017, 20:18

Seja f uma função cujo o domínio é o conjunto dos números reais e f(a+b)=f(a).f(b) para todo a e b.Se f(0)=1, então o valor de x que satisfaz a igualdade f(2x)=1/f(1), onde f(1) Espcex 1994 Ctm0bZae7Z6CJwUDKEHEjsh+R2lDopyrwafl5Zp2TeKbUqgOEhPCGYNgZdutIeGIIhjYSYPDGBAzerjc+jUWHDGcC

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é um dos zeros da equação:

a) x²-x-6=0
b) 2x²+3x-5=0
c) 2x²+5x+2=0 << gabarito
d) x²+2x+1=0
e) x²-3x+1=0

por Gabriel Gustavo Qua 01 Mar 2017, 23:12

Resolução:

Cálculo

$f(a+b)=f(0)\rightarrow a+b=0\therefore -a=b$

$f(0)=1\therefore f(a)*f(-a)=1$

Concluo que:

$f(-a)=\frac{1}{f(a)}$

Substituindo a seguinte incógnita, temos que:

$f(-1)=\frac{1}{f(1)}$

Substituição na equação abaixo:

$f(2x)=\frac{1}{f(1)}\rightarrow f(2x)=f(-1)$

Com o cálculo abaixo, é certo do valor de uma das raízes:

$2x_{1}=-1\rightarrow x_{1}=-\frac{1}{2}$

Determina-se o valor de uma outra raiz:

$f(x_{1})*f(x_{2})=1\rightarrow -\frac{1}{2}*f(x_{2})=1$

Logo, conclua-se que:

$f(x_{2})=-2$

Com o cálculo da determinação da equação em função das raízes:

$b=-(x_{1}+x_{2})\rightarrow b=-(-\frac{1}{2}-2)$

$b=-(-\frac{1}{2}--\frac{4}{2})=\frac{5}{2}$

$c=x_{1}*x_{2}\rightarrow -\frac{1}{2}*-2=1$

Com os valores obtidos, temos que:

$ax^{2}+bx+c=0$

$x^{2}+\frac{5}{2}x+1=0$

Todos os valores nominais devem ser inteiros. Multiplicando todos por 2, temos que:

$2x^{2}+5x+2=0$

Minha opinião a respeito do enunciado:

Muito confuso, pois o enunciado pede o cálculo do valor de x (que sugere que há um valor), porém as alternativas não condizem com isso.

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