Triedro Tri-retangulo

por Carolziiinhaaah Qui 07 Abr 2011, 18:39

A que distância do vértice de um triedro retangulo deve passar um plano para que a seção obtida seja um triangulo equilatero de lado L?

gabarito: L.V6/6

por **Elcioschin** Qui 07 Abr 2011, 19:19

Faça um desenho, considerando:

L = lado da base da pirâmide triângular
x = aresta da pirâmide (cuja ângulo do vértice = 90º)
H = altura de cada face
R = raio co círculo inscrito na base
h = altura da pirâmide

L² = x² + x² ----> L² = 2*x² ----> x = L*(\/2/2)

R² = [(L*\/3)/3]² - (L/2)² ----> R² = L²/12

H² = x² - (L/2)² ----> H² = L²/2 - L²/4 ----> H² = L²/4

h² = H² - R² ----> h² = L²/4 - L²/12 ----> h² = L²/6 ----> h = L*(\/6/6)

por Carolziiinhaaah Qui 07 Abr 2011, 19:41

Mestre, não entendi o porquê do sr ter colocado o raio do circulo inscrito na base no problema.. :/

por **Elcioschin** Qui 07 Abr 2011, 19:46

Faça um bom desenho
Vc terá dois triângulos retângulos:

1) Aresta x da pirâmide , metade do lado da base (L/2), altura da face (H)

2) Altura da pirâmide (h) que é a incógnita, altura da face e raio R do círculo inscrito na base

Sem R não dá para calcular h

por Gabriel Rodrigues Sex 21 Jun 2013, 20:34

Mestre,

que é essa altura da face?
E a projeção ortogonal do vértice do triedro no plano perpendicular que passa por ele é o centro do círculo inscrito na base?

por **Elcioschin** Sáb 22 Jun 2013, 12:35

Não.

H é o apótema da face (ou altura do triângulo de cada face)

A projeção ortogonal do vértice V do triedro no plano da base é o centro O círculo inscrito na base.do triângulo.

VO = h = altura da pirâmide = incógnita do problema

por Gabriel Rodrigues Sáb 22 Jun 2013, 19:56

Espera. A projeção ortogonal do vértice no plano perpendicular a uma das arestas é ou não é o centro do círculo inscrito?

por **Elcioschin** Sáb 22 Jun 2013, 20:06

Não é o plano perpendicular a uma das arestas: é o plano da base da pirâmide:

Seja V o vértice e ABC o triângulo equilátero da base da pirâmide
As face dos triedros são ABV, ACV e BCV ----> A^VB = A^VC = B^VC = 90º
O = centro do triângulo inscrito no triângulo equilátero da base = projeção ortogonal de V sobre o plano da base ABC
VO = h = altura da pirâmide
H = altura de cada face = apótema de cada face = distância de V ao ponto médio de AB, AC e BC