Números Complexos

por diolinho Qui 22 Dez 2016, 22:04

No plano complexo, considere o LG dos números complexos tais que |z - 4 - 2i| = √5. Qual é o número complexo cuja imagem é o ponto desse LG que está mais distante da origem do sistema de eixos?

Gabarito: 6 + 3i

por **xSoloDrop** Qui 22 Dez 2016, 22:31

Supondo z = a + bi, temos que:

|a + bi - 4 - 2i| = √5

|(a - 4) + (b - 2)i| = √5

√[(a - 4)² + (b - 2)²] = √5

(a - 4)² + (b - 2)² = 5

Como esperado, o LG representa uma circunferência de centro C(4,2) e raio √5.

Agora façamos um exercício mental:

A maior corda de uma circunferência é aquela que passa pelo centro (que representa o diâmetro). Construindo uma reta que passa pela origem e intersecta a circunferência, ela terá maior distância do ponto (0,0) se ela for contínua com o diâmetro. Ou seja, a reta deve passar pelo centro C(4,2).

y = mx + n

y = (2-0)x/(4-0) + 0

y = x/2

Substituindo no LG, temos que b = a/2:

(a - 4)² + (a/2 - 2)² = 5

a² - 8a + 16 + a²/4 - 2a + 4 = 5

5a²/4 - 10a + 15 = 0

5a² - 40a + 60 = 0

a² - 8a + 12 = 0

a = 6 ou a = 2

Na equação de reta:

y = 6/2 = 3