ITA Logarítmo
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ITA Logarítmo
por Leonardo Moreno Qui 17 Nov 2016, 12:09
Seja f(x) = ln(x^2 + x + 1) , x pertence aos reais. Determine as funções h, g: R ----> R tais que f(x) = g(x) + h(x), para todo x pertencente aos reais, sendo h uma função par e g uma função ímpar.
Gabarito:
h(x) = ln\sqrt{(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)} \\ g(x) = ln\sqrt{\frac {x^2 +x + 1} {x^2 - x +1} }
Eu sei que em uma função par f(-x) = f(x) e em uma função ímpar, f(-x) = -f(x), mas não sei como essa informação pode me ajudar para resolver a questão.
Gabarito:
Eu sei que em uma função par f(-x) = f(x) e em uma função ímpar, f(-x) = -f(x), mas não sei como essa informação pode me ajudar para resolver a questão.
Leonardo Moreno- Padawan
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Re: ITA Logarítmo
por igorrudolf Qui 17 Nov 2016, 16:32
Oi, você tem que
f(x) = g(x) + h(x) e f(-x) = g(-x) + h(-x)
Como h(x) é par → h(-x) = h(x)
Como g(x) é ímpar → g(-x) = -g(x)
Então, montando um sistema
f(x) = g(x) + h(x)
f(-x) = - g(x) + h(x)
ln(x²+x+1) + ln(x²-x+1) = 2h(x)
h(x) = ln[(x²+x+1)(x²-x+1)].1/2
h(x) = raíz quadrada de ln[(x²+x+1)(x²-x+1)]
2g(x) = f(x) - f(-x)
= ln(x²+x+1) - ln(x²-x+1)
g(x) = raiz quadrada de ln(x²+x+1)/(x²-x+1)
f(x) = g(x) + h(x) e f(-x) = g(-x) + h(-x)
Como h(x) é par → h(-x) = h(x)
Como g(x) é ímpar → g(-x) = -g(x)
Então, montando um sistema
f(x) = g(x) + h(x)
f(-x) = - g(x) + h(x)
ln(x²+x+1) + ln(x²-x+1) = 2h(x)
h(x) = ln[(x²+x+1)(x²-x+1)].1/2
h(x) = raíz quadrada de ln[(x²+x+1)(x²-x+1)]
2g(x) = f(x) - f(-x)
= ln(x²+x+1) - ln(x²-x+1)
g(x) = raiz quadrada de ln(x²+x+1)/(x²-x+1)
igorrudolf- Jedi
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Re: ITA Logarítmo
por Leonardo Moreno Qui 17 Nov 2016, 17:00
Muito obrigado!!!!!igorrudolf escreveu:Oi, você tem que
f(x) = g(x) + h(x) e f(-x) = g(-x) + h(-x)
Como h(x) é par → h(-x) = h(x)
Como g(x) é ímpar → g(-x) = -g(x)
Então, montando um sistema
f(x) = g(x) + h(x)
f(-x) = - g(x) + h(x)
ln(x²+x+1) + ln(x²-x+1) = 2h(x)
h(x) = ln[(x²+x+1)(x²-x+1)].1/2
h(x) = raíz quadrada de ln[(x²+x+1)(x²-x+1)]
2g(x) = f(x) - f(-x)
= ln(x²+x+1) - ln(x²-x+1)
g(x) = raiz quadrada de ln(x²+x+1)/(x²-x+1)
Leonardo Moreno- Padawan
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