Divisão de polinômio

por mathwithh Ter 11 Out 2016, 16:25

Ao efetuar a divisão de um polinômio a(x) por outro b(x), com coeficientes reais, obtemos polinômios q (x) e r (x), tais que a(x)=b(x)q(x)+r(x) e grau de r(x)
01) Se um polinômio divide tanto a(x) quanto b(x), então ele também divide o resto r(x) da divisão de a(x) por b(x).
02) Se b(x) divide os polinômios a1(x) e a2(x), então ele também divide a soma a1(x)+a2(x).
04) Se b(x) divide o produto a1(x) . a2(x) de dois polinômios, então b(x) divide algum dos dois fatores, a1(x) ou a2(x).
08) O resto da divisão de a(x)=x^3+x^2+x+1 por b(x)=x^2-1 divide o quociente dessa mesma divisão.
16) Se b(x) divide a(x), então toda raiz de b(x) também é raiz de a(x).

Gabarito: 01, 02, 08, 16.

por **gilberto97** Qua 12 Out 2016, 17:07

Se c(x) divide a(x) e b(x), então

a(x)=c(x)q'
b(x)=c(x)q''

Substituindo...

c(x)q' = c(x)q''q(x)+r(x)

r(x) = c(x)(q'-q''q(x)) --> c(x) divide r(x). 01 correta.

02) a1(x) = b(x)q' e a2(x)=b(x)q''

Somando: a1(x)+a2(x)=b(x)(q'+q'') --> correto

04) a1(x).a2(x)=b(x)q(x)

Nem sempre... Se a1(x) = x³ e a2(x) = x², podemos ter b(x) = x^4, que não divide nem a1 nem a2, mas divide a1a2.

08) Efetuando-se a divisão, encontra-se r(x) = 2(x+1) e q(x) = x+1. Verdadeiro.

16) a(x) = b(x)q(x)

Raízes de b(x) --> a1,a2,a3...

Então b(x) = (x-a1)(x-a2)(x-a3)...

Logo a(x) = (x-a1)(x-a2)...q(x) --> a1, a2,... são raízes de a(x), pois a(a1)=a(a2)=...=0.

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