Complexo Zn

UFCE Considere o número complexo z = (1 + i). (√(3) - i). Assinale a opção na qual consta o menor inteiro positivo n, tal que z n seja um número real positivo.



d) 24

Dani, ao você clicar em "Pré-visualizar" aparece uns 3 pontinhos onde você pode elevar um número ou "abaixá-lo" colocando como base de um log por exemplo.



Você também pode copiar e colar símbolos para ajudar quem está tentando te ajudar.

Alternativas

a) 6
b) 12
c) 18
d) 24
e) 30

z=(1+i).(√3-i)
z=√3-i+√3i-i²
z=(√3+1)+(√3-1)i --> a=(√3+1) e b=(√3-1)

|z|=√(a²+b²)
|z|=√[(√3+1)²+(√3-1)²]
|z|=√(3+2√3+1+3-2√3+1)
|z|=√8 -->|z|=2√2

sen θ=(√3-1)/2√2 -->sen θ=(√6-√2)/4
cos θ=(√3+1)/2√2 -->cos θ=(√6+√2)/4

θ=15º --> θ=π/12

zⁿ=|z|ⁿ.[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)]
zⁿ=(2√2)ⁿ.[cos(n.π/12)+i.sen(n.π/12)]

Para que zⁿ seja um número real positivo, primeiramente a parte imaginária deverá ser zero. 

sen(n.π/12)=0
sen(n.π/12)=sen(0) ou sen(n.π/12)=sen(π)

n.π/12=2kπ
ou
n.π/12=kπ

Se k=0

n=0
ou  (Não convém pois não tem essa alternativa)
n=0

Se k=1

n=24 (Gabarito)
ou
n=12 (Não convém pois: cos(12.π/12)=cos(π)=-1

Não sabia   Obrigada!

Esdras, cheguei nessa:
sen θ=(√6-√2)/4
cos θ=(√3+1)/2√2 -->cos θ=(√6+√2)/4


mas eu fiquei com dúvida em relação a saber ser ângulo 15... como ter certeza que é o 15? teria que ir usando as relações sen (45-30)? ou tem outro jeito de saber sem ter que calcular isso ?

De tanto fazer a essa relação trigonométrica acabei gravando-a. Não sei se tem outro jeito 

Obrigada Esdras !!

Teria um outro jeito sim:

z=x.y

x=(1+i)
|x|=√2 ; a=1 ;b=1

senθ=1/√2=√2/2
cosθ=√2/2
θ=π/4

x=(√2).[cos(π/4)+isen(π/4)]
 
y=(√3-i)

|y|=2 ; a=√3 ;b=-1

senθ=-1/2
cosθ=√3/2
θ=11π/6

y=(2).[cos(11π/6)+isen(11π/6)]

z=(√2).[cos(π/4)+isen(π/4)].(2).[cos(11π/6)+isen(11π/6)]
z=(2√2).[cos(π/4)+isen(π/4)].[cos(11π/6)+isen(11π/6)]
z=(2√2).[cos(π/4).cos(11π/6)+cos(π/4)isen(11π/6)+isen(π/4).cos(11π/6)+isen(π/4).isen(11π/6)]
z=(2√2).{[cos(π/4).cos(11π/6)-sen(π/4).sen(11π/6)]+[cos(π/4)sen(11π/6)+sen(π/4).cos(11π/6)]i}
z=(2√2).{cos(π/4+11π/6)+[sen(π/4+11π/6)]i}
z=(2√2).[cos(25π/12)+i.sen(25π/12)]
z=(2√2).[cos(π/12)+i.sen(π/12)]