Progressão Geométrica e Aritmética

por Liliana Rodrigues Ter 13 Set 2016, 12:04

A sequência (x,4,y,z) é uma progressão geométrica, e (x,y,z-2) é uma progressão aritmética, com y<0. O valor de z é:
a) 2
b) 2 √ 2
c) 16
d) 8
e) 4 √ 2
Resposta: letra a)
Alguém pode me ajudar?

por **Elcioschin** Ter 13 Set 2016, 12:40

PG ---> x, 4, y, z ---> 4/x = y/4 = z/y

4/x = y/4 ---> x.y = 16 ---> x = 16/y ---> I

y/4 = z/y ---> 4.z = y² ---> z = y²/4 ---> II

PA ---> x, y, z-2 ---> 2.y = x + z - 2 ---> III

I e II em III ---> 2.y = 16/y + y²/4 - 2 ---> *4.y ---> y³ - 8.y² - 8.y + 64 = 0

Pesquisa de raízes racionais ---> y = 8 é raiz ---> não serve pois y < 0

Briott-Ruffini para y = 8

_|1 -8 -8 64
8|1 .0 -8 . 0

Quociente ---> y² - 8 = 0 ----> y² = 8 ---> y = + 2.√2 (não serve) e y = -2.√2

II ---> z = y²/4 ---> z = 8/4 ---> z = 2

Só como curiosidade:

PG: -4.√2, 4, -2.√2, 2 ---> q = -√2/2
PA: -4.√2, - 2.√2, 0 ---> r = 2.√2