Circunferência com Reta (UECE 2015)

por julnikit Dom 31 Jul 2016, 10:21

(UECE 2015) Em um sistema de coordenadas cartesiano usual, as retas representadas pelas equações 3x - 4y + 4 = 0 e 3x - 4y + 20 = 0 são tangentes a uma circunferência cujo centro está localizado sobre o eixo -y. A equação que representa esta circunferência é:

(a) 25x² + 25y² - 25y - 125 = 0
(b) 25x² + 25y² - 150y + 161 = 0
(c) x² + y² - 25y + 9 = 0
(d) x² + y² - 2y - 9 = 0

Resposta: A

Obs.: Eu não entendi o que a questão quis dizer com "eixo -y" e no que isso me ajuda a resolver o problema. Agradeço a quem puder me explicar.

por **Elcioschin** Dom 31 Jul 2016, 10:53

O sinal - antes do y deve ser erro de digitação, pois o centro da circunferência deve ficar no semi-eixo y positivo

Reta r ---> 3x - 4y + 4 = 0 ---> Passa por A(-4/3, 0) e B(0, 1)
Reta s ---> 3x - 4y + 20 = 0 ---> Passa por D(-20/3) e E(0, 5)

Desenhe as duas retas e a circunferência com centro em C(0, yC)

Distância de C à reta r é igual ao raio:

D(C, r) = |3.xC - 4.yC + 4|/√(3² + 4²) = |3.0 - 4.yC + 4|/5 = |- 4.yC + 4|/5

Distância de C à reta s é igual ao raio:

D(C, r) = |3.xC - 4.yC + 20|/√(3² + 4²) = |3.0 - 4.yC + 20|/5 = |- 4.yC + 20|/5

|- 4.yC + 4| = |- 4.yC + 20| ---> - 4.yC + 4 = 4.yC - 20 ---> yC = 3

R = |- 4.yC + 4|/5 ---> R = |- 4.3 + 4|/5 ---> R = 8/5

(x - 0)² + (y - 3)² = (8/5)²

25.x² + 25.y² - 150.y + 161 = 0 ---> Alternativa B

por Juliana firmino Sáb 03 Dez 2016, 18:39

Elcio, por incrível que pareça, a questão estava exatamente assim na prova, com esse erro grotesco, e, pasme, a questão não foi anulada! Um absurdo!

por **Elcioschin** Sáb 03 Dez 2016, 19:08

Eu acredito.
Além disso, é impossível ser a alternativa A. Veja:

25x² + 25y² - 25y - 125 = 0

x² + y² - y - 25 = 0 ---> (x - 0)² + (y - 1/2)² = 101/4

O centro C(0, 1/2), ALÉM de ficar no semi-eixo Y+, fica ABAIXO da reta r.

Para a circunferência poder tangenciar r, s, ao mesmo tempo, o centro C deveria estar, obrigatoriamente entre as duas retas.

por Juliana firmino Sáb 03 Dez 2016, 19:13

Sim, pois é, depois eles retificaram o gabarito para a alternativa B. Mas imagino que muitos candidatos tenham perdido tempo ou nem conseguido desenvolver a questão por causa desse erro grosseiro no enunciado... a questão deveria ter sido anulada.