943 Gandhi

Sejam a>b>c três inteiros positivos tais que a+b é múltiplo de c, b+c é múltiplo de a e a+c é múltiplo de . sobre o quociente abc/(a+b+c) podemos afirmar que:
a) algumas vezes é um número racional, outras vezes não.
b) é sempre um inteiro ímpar
c) é sempre irracional
d) é sempre inteiro par
e) é sempre um quadrado perfeito

gab: E

Amigos, meu problema nessa questão é que fica claro que deve haver uma simplificação do numerador com o denominador, após esta o numerador ficará com 2 fatores e, quanto ao denominador, não consigo afirmar seguramente nada a respeito

ningém???

Olá!!
De um jeito mais simples:
Sendo x,y e z constantes positivas e inteiras:
a + b = zc
a + c = yb
b + c = xa
x = (a + b)/c ...1
y = (a + c)/b ...2
z = (b + c)/a ...3


Primeiro passo: Somando 1,2 e 3:
x + y + z = (a + b)/c + (a + c)/b + (b + c)/a
Fazendo mmc: 
x + y + z = [ab(a + b) + ac (a + c) + bc (b + c)]/abc
x + y + z = (a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc²)/abc

Segundo passo: Multiplicando 1,2 e 3:
xyz = (a + b)/c . (a + c)/b . (b + c)/a 
xyz = (a + b)(a + c)(b + c)/ abc
xyz = (a² + ab + ac + bc)(b + c)/ abc
xyz = (a²b + a²c + ab² + abc + ac² + abc + b²c + bc²)/abc
xyz = (a²b + a²c + ab² + ac² + b²c + bc² + 2abc)/abc
xyz = (a²b + a²c + ab² + ac² + b²c + bc²)/abc + 2

Observe as duas partes em vermelho..
São iguais!!
A parte em vermelho representa a soma x + y + z.
Assim:
xyz = x + y + z + 2
Agora para ficar mais fácil de visualizar o próximo passo, vamos supor primeiramente que x = 1 e y = 2:
2z = z + 5
z = 5
Portanto, (x,y,z) = (1,2,5) é uma solução.
Supondo que x = 1 e y = 3:
3z = 4 + z + 2
2z = 6
z = 3
Mas z não pode ser igual a y, pois nesse caso, a,b e c não seriam números diferentes entre si.
Supondo x = 1, y=4:
4z = 5 + z + 2
3z = 7
z = 7/3
z deve ser inteiro...
Supondo apenas x = 1:
yz = y  + z + 2 + 1
y (z - 1) = (z + 3)
y = (z + 3)/ (z - 1)
Repare que o numerador e o denominador são números que diferem em apenas quatro unidades, e a única forma da divisão ser exata nas condições acima (y deve ser inteiro), é conforme a solução já mencionada.

Agora vamos fixar x = 2:
2yz = y + z + 2 + 2
2yz = y + z + 4
y (2z - 1) = (z + 4)
y = (z + 4)/(2z -1)
Observe que não há solução que convenha.
Da mesma forma  com qualquer outro x>1.

Portanto, a solução mencionada é a única que convém.

Substituindo:
a + b = 5c
a + c = 2b
b + c = a
Colocando b e c em função de "a":
Subtraindo a terceira da segunda equação:
a - b = 2b - a
2a = 3b
b = 2a/3
Substituindo esse valor na primeira equação:
2a/3 + a = 5c
5c = 5a/3 
c = a/3
Substituindo todos esses valores em função de "a" na expressão em questão:
abc/(a + b + c)
(2a³/9)/2a = a²/9


A expressão em negrito é um quadrado perfeito cuja raiz é a/3!!


Uma possível pergunta: E se a/3 não for inteiro? Nesse caso não teríamos um quadrado perfeito inteiro, certo?


Acontece que aquele sistema em que temos 3 equações e 3 incógnitas (a,b, c), tem infinitas soluções!!!


E mais: você percebe facilmente que um trio que resolve é: (3,2,1), outro será: (6,4,2), outro: (9,6,3)...


Percebeu que todas as outras soluções são múltiplas da primeira?
"a" será sempre múltiplo de 3, consequentemente a/3 será inteiro, e (a/3)² é sinônimo de um número inteiro ao quadrado.


Um quadrado perfeito!
Letra "e"


Analisando as outras alternativas:
Não pode ser a "a" porque como já mencionado, sempre será inteiro.
Não pode ser a "b", porque quando a = 6, teremos 4 como resultado da expressão, que é par.
Não pode ser a "c", porque aproveitando o 4 na resposta anterior, é um número racional.
E por fim, não pode ser a "d" porque quando a = 9, teremos 9 como resultado da expressão, que é um inteiro ímpar!

Fantástico amigo,
bem explicado e exato.
Obrigado