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OBF 2015 (nível III, 2ª fase, questão 7)

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Mensagem por rodrigoneves Ter 12 Jul 2016, 22:30

Uma barra condutora de massa m é lançada para a direita com velocidade \vec{v}_0 sobre um par de trilhos metálicos e paralelos separados por uma distância L, como ilustrado na figura abaixo. Os trilhos estão apoiados em um plano horizontal, têm suas extremidades esquerdas conectadas por um resistor de resistência R e estão na presença de campo magnético vertical uniforme e que aponta para cima. Considerando que a barra e os trilhos são condutores ideais e que a barra desliza sem atrito, (a) determine a taxa de variação da energia cinética da barra; (b) esboce um gráfico da energia cinética da barra em função do tempo.
OBF 2015 (nível III, 2ª fase, questão 7)  P46xQmZ
minha resolução:

\\ \varepsilon_{ind} = -\frac{\text{d}\phi}{\text{d}t} = \frac{\text{d}}{\text{d}t} \left(B\cdot x\cdot L\cdot \cos{0} \right ) = BL \frac{\text{d}x}{\text{d}t} \Rightarrow \varepsilon_{ind} = -BLv \\ \varepsilon_{ind} = Ri \Rightarrow -BLv = Ri \Rightarrow i = \frac{-BLv}{R} \\ F_{B} = BiL = B \cdot \left( \frac{-BLv}{R} \right ) \cdot L \Rightarrow F =- \frac{B^2L^2}{R}v \Rightarrow m\frac{\text{d}v}{\text{d}t} = - \frac{B^2L^2}{R}v \Rightarrow \\ \Rightarrow \frac{\text{d}v}{\text{d}t} = -\frac{B^2L^2}{mR}v \Rightarrow \frac{\text{d}v}{v} = \frac{-B^2L^2}{mR}\text{d}t \Rightarrow \int \frac{\text{d}v}{v} = \int \frac{-B^2L^2}{mR}\text{d}t \Rightarrow \ln{\left( \frac{v}{v_0}\right)} = -\frac{B^2L^2}{mR}(t-0) \Rightarrow \frac{v}{v_0} = e^{\frac{-B^2L^2}{mR}t} \Rightarrow v = v_0  e^{\frac{-B^2L^2}{mR}t} \\ E_c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} mv_0^2 e^{\frac{-2B^2L^2}{mR}t} \\  \therefore \boxed{E_c =  \frac{mv_0^2}{2} e^{\frac{-2B^2L^2}{mR}t} } \, \text{(b)} \\ \therefore \boxed{ \frac{\text{d}E_c}{\text{d}t} =- \frac{B^2L^2v_0^2}{R}e^{\frac{-2B^2L^2}{mR}t}}\, \text{(a)}
Eu não conhecia a prova, mas acho que dificilmente uma questão precisaria disso tudo pra ser resolvida. Agradeço sugestões!
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Mensagem por rodrigoneves Sex 15 Jul 2016, 19:38

Vamos lá, pessoal!
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Mensagem por Convidado Dom 06 Ago 2017, 15:14

Também estou com dúvida nessa questão. Mas no caso a expressão até onde consegui chegar foi a energia cinética inicial menos a potência dissipada pelo resistor, que utilizei a Lei de Ohm e substitui a tensão induzida pela fórmula B.v.l mas não consegui isolar a expressão tendo apenas uma variável que seria o tempo.

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Mensagem por renanmmagalhaes Sex 03 Jan 2020, 17:54

que viagem mais doida essa sua... só de ter integral de 1/x já é certeza de estar errado. 

Calcula a fem induzida, calcula a corrente elétrica induzida e depois a potência dissipada no resistor. 

A energia dissipada só pode estar vindo da conversão da energia cinética, por isso assim que calcular a potência dissipada no resistor acabou a questão.

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Mensagem por renanmmagalhaes Sex 03 Jan 2020, 18:00

na verdade a velocidade depende do tempo, então não dá pra fazer como eu disse acima... é um pouco mais complexo.

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Mensagem por renanmmagalhaes Sex 03 Jan 2020, 18:13

carai... to refazendo essa bodega... tem que lascar integral mesmo... o bixo é doido...

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Mensagem por NikolsLife Sab 04 Jan 2020, 00:43

Basta usar a conservação de energia. A perda de potência no resistor é igual à taxa de variação da energia cinética.

                                                                                OBF 2015 (nível III, 2ª fase, questão 7)  Gif

Então

                                                              OBF 2015 (nível III, 2ª fase, questão 7)  Gif 

Nesse ponto, você precisaria mostrar que essa é uma curva logarítmica
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