Dúvida resolução UEFS

Bom, tava com duvida na seguinte questão:
UEFS 2011.2 Considere, no sistema de coordenadas cartesianas, uma circunferência que tangencia o eixo das ordenadas em y =  e também tangencia a reta y-3x=0. Sabendo-se que nenhum ponto da circunferência tem coordenadas negativas, pode-se afirmar que a distância do centro da circunferência à origem é, em u.c., aproximadamente, igual a

a) 08
b) 09
c) 10
d) 11
e) 12

Entretanto, encontrei a seguinte resolução
"Assim, temos que:

 , resolvendo, chegamos em:
, portanto,


Dessa forma:


Aplicando a seguinte relação na fórmula da distância:
, vem que:
, portanto:


Obtemos, então:


Calculando a distância de C até o centro O,
Obtemos:
, portanto:


"
porém estou com dúvida da parte em negrito.Algúem poderia me explicar essa relação?pq x=4???

Muito obrigada!!

retirada de : http://www.tutorbrasil.com.br/forum/matematica-pre-vestibular/uefs-2011-2-geometria-analitica-t41633.html#p134291

Ele igualou as distâncias entre os pontos T1, C e C, T2.

d_{T_1C}=d_{CT_2}\\ \sqrt{(x_{T_1}-x_C)^2+(y_{T_1}-y_C)^2}=\sqrt{(x_C-x_{T_2})^2+(y_C-y_{T_2})^2}\\ \sqrt{(0-x)^2+(\sqrt{112}-\sqrt{112})^2}=\sqrt{(x-7)^2+(\sqrt{112}-3\sqrt7)^2}\\ x=4

entendi mto bem, obrigada pela explicação.entretanto....
a formula diz que d=V(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 .
por que a distancia ficou
 e na sua resolução está  dt1c e dct2??
vejo que isso influência na resolução, não é mesmo?
por exemplo, na primeira distância, quem é x1 e x2?
entende minha duvida?
to com muita dificuldade na resolução dessa conta.pode me ajudar?tem o passo a passo?desculpa minha insistência, sou mto ignorante nessa parte!!

Olá Victória, não se acanhe com essas notações. Na verdade, tanto faz escrever do jeito que ele fez ou do meu, o que nós estamos falando é que a distância de C até T1 deve ser igual a distância de C até T2, isso somente.
Na fórmula observe que cada parcela elevada ao quadrado permanece a mesma. Vamos pegar d_{CT_1} como exemplo:

\sqrt{(x_C-x_{T_1})^2+(y_C-y_{T1})^2}=\sqrt{[(-1)(x_{T_1}-x_C)]^2+[(-1)(y_{T1})-y_C]^2}\\ \sqrt{(-1)^2(x_{T_1}-x_C)^2+(-1)^2(y_{T1})-y_C)^2}=\sqrt{(x_{T_1}-x_C)^2+(y_{T1})-y_C)^2}

Que é igual a d_{T_1C}

No caso de você não saber quem é quem, veja que eu preservei as posições dos x e y nas expressões. Então, na primeira distância x_{T_1}=0, x_C=x (que queremos descobrir) e y_{T_1}=y_C=\sqrt{112}. Observe que ele chamou duas coisas de x, mas o meu x é igual abscissa desconhecida do centro  C da circunferência.

Vou modificar um pouco a solução dele:

1) T2 está obre a reta y=\frac{3x}{\sqrt{7}}, logo y_{T_2}=\frac{3x_{T_2}}{\sqrt{7}}. Como as distâncias da origem até T1 e T2, respectivamente, são iguais a \sqrt{112}, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo rosa que ele destacou:
(x_{T_2})^2+(y_{T_2})^2=(\sqrt{112})^2

(\frac{3x_{T_2}}{\sqrt{7}})^2+(x_{T_2})^2=112

7x_{T_2}^2+9x_{T_2}^2=784

x_{T_2}=7

Os outros passos eu mantenho-os do mesmo jeito, acrescentando o que eu escrevi no último post.

Abraço!

entendi, muito obrigada!!!