Medida da projeção

Nos lados AC e BC de um ∆ABC se tomam os pontos M e N respectivamente, tal que os ângulos BAC e MNC são suplementares. Se AB/MN = 5/3, NC = 6 e AC = 16, calcule a medida da projeção de AB sobre AC.

Spoiler:

Oi Askitaka ,
Vou tentar explicar , se troquei alguma linha , tente pegar o fio da meada.
1 - Se AB/MN=5/3---->AB=5MN/3.
2 - Se BÂC e M^NC são suplementares, temos BÂX=x , M^NC=180-x e M^NE=180-(180-x)=x.
3 - Por A e M baixe as perpends. sobre BC formando os triâgs. ret. semelhantes ABD e MNE.
4 - ABD ~MNE , se MN=y , temos AB=5y/3, e se ME=n  , temos AD=5n/3
5 - ADB ~MCE--->(5n/3)/n = 16/(16-AM)----->AM= 6,4 e CM=16=6,4=9,6.
6 - AFM ~MCE--->FM/(6+m) = (2n/3)/n----->FM=12 + (2m/3) , veja que  AF=AD-ME=2n/3, e FM=DE.
7 - Por B baixe a perpend. a AC formando o triâng. ret.  BGA que é congruente  com ABD.  Assim se BÂC=x , temos A^BC=x , conseq. BD=AG=5m/3 , e ABC é um triâng. isósceles.
8 - Igualando AC=BC , obtemos m=1,8 e AG=3 .

Oi, Raimundo!!
Ainda bem que voltou para explicar, porque eu não estava entendendo a lógica seguida. Desde já agradeço pela solução!
Contudo, no passo 5 você quis dizer ADC ~MCE, certo?

Eu só não entendi porque BGA é congruente com ABD e porque ABC = x também.

1 -Certo troquei as letras.

2 - Por B baixe o segmento  sobre AC, de modo que AG tenha a mesma medida de BD.
Assim temos formado o triâng. BAG , que tem 2 lados iguais ao triâng ABD ( AG=BD , e AB comum) concorrendo no mesmo âng. Â -  (LAL).

Raimundo, ainda não estou convencido que tal construção seja possível.
Para eles serem congruentes pelo LAL, segundo o que você disse, teríamos que ter:
L: AB = AB (ok)
A: Â = B (???)
L: AG = BD (ok)

Para aplicar LAL, teríamos antes que provar que o ângulo A é o mesmo que B, mas não vejo porque seria verdade, como tinha dito no post anterior...

Como eu não tenho uma explicação convicente para provar que os triângs. são congruentes , eu pergunto:
Se tenho 2 triâng. com 2 lados iguais concorrendo num mesmo âng. e um deles é retângulo , o outro pode ser um triângulo isósceles ? pode ser um triâng. escaleno? Se vc conseguir me mostrar isso,  acho que vou aprender coisas que não sei. grt

O que quer dizer com concorrendo em um mesmo ângulo?
Além disso, o senhor concorda que se os triângulos são congruentes, então eles devem obrigatoriamente encaixar em algum dos critérios de congruência? A princípio, tudo que eu sei sobre ∆BAD e ∆ABG é que tem dois lados iguais, daí ainda falta uma informação para poder concluir a congruência e é sobre tal informação que perguntei ao senhor.

Ok

Eu não sei se é impressão minha, mas o senhor parece bravo desde seu penúltimo post e eu não sei o motivo já que eu não falei absolutamente nada de mais e apenas, humildemente, pedi ajuda para entender a resolução.
Mas, de qualquer forma, agradeço e peço desculpas por qualquer mal entendido.