equação modular

por Stephanie Luna Galdino Dom 30 Jan 2011, 12:23

Dê as raízes da equação |x-3|² + |x-3| - 6=0

por **JoaoGabriel** Dom 30 Jan 2011, 12:42

|x-3|² + |x-3| - 6=0

|x-3|² + |x-3|-6 = (1º valor: positivo)
(x -3)² + x - 3 = 6
x² - 6x + 9 + x - 3 = 6
x² - 5x = 0

S = 5
P = 0

x' = 5
x'' = 0

|x-3|² + |x-3|-6 = 0 (2º valor: negativo)
x² - 6x + 9 -(x - 3) - 6 = 0
x² - 6x + 9 -x + 3 - 6 = 0
x² - 7x + 6 = 0
S = 7
P = 6

x' = 1
x'' = 6

S = [5,0,1,6]

Acho que é isso, se estiver errado por favor avise.

Abraços

por Luck Dom 30 Jan 2011, 14:15

Outro modo:
|x-3|² + |x-3| - 6=0
|x-3| = y
y² + y - 6 = 0
Raízes : 2 e -3
|x-3| = 2
x-3 = 2 ; -x+3 =2
x = 5 ; x = 1

|x-3| = -3
x-3 = -3 ; -x+3 = -3
x = 0 ; x =6

S = {5,1,0,6}

por Luck Dom 30 Jan 2011, 14:23

Acho que cometi um erro, a solução seria apenas S {1,5} , pois:
para x = 0
|x-3|² + |x-3| - 6=0
|-3|² + |0-3| - 6 = 0
9+3 - 6 = 0
6 = 0 absurdo

|x-3|² + |x-3| - 6=0
|6-3|² + |6-3| - 6 = 0
9 + 3 - 6 = 0
6 = 0 absurdo
Então so vale 1 e 5..

por **JoaoGabriel** Dom 30 Jan 2011, 14:35

Hmm luck acho que tem razão. Não estou me recordando certo, porém não deveríamos ter aplicado a condição de existência?

por Luck Dom 30 Jan 2011, 15:14

JoaoGabriel escreveu:Hmm luck acho que tem razão. Não estou me recordando certo, porém não deveríamos ter aplicado a condição de existência?

Pode aplicar condição de existência nesse caso tb, porém acho mais fácil resolver daquele jeito e depois só testar as raízes...

|x-3|² + |x-3| - 6 = 0
|x-3|² IR
|x-3| --> x-3 se x> 3 ; -x+3 se x< 3

Se x> 3

(x-3)² + (x-3) - 6 = 0
(x-3) = y
y² + y - 6 = 0
Raízes 2 e -3
(x-3) = 2 ; (x-3) = -3
x =5 ; x= 0 ( não serve)

Se x< 3
(-x+3)² + (-x+3) - 6 = 0
-x+3 = k
k² + k - 6 = 0
Raízes 2 e -3
-x+3 = 2 ; -x+3 = -3
x = 1 ; x = 6 (não serve)

Logo, S = {1,5}