Equação modular

(UEPG - 2004) Assinale o que for correto. 
01) As desigualdades – 2 < 25 x² – 3 < 97 e 5[elevado a -1] < |x| < 2 são equivalentes. 
02) |x + y| ≥ |x| + |y| , ∀ x , y ∈ ℝ. 
04) O produto das raízes da equação – |x – 5| = 3 é 8. 
08) A função f(x) = |x + 1| é sempre crescente. 
16) O domínio da função f(x) = 1/ 1 - |2x| é D = ℝ - {-1/2, 1/2} .

Vou fazer 01 e você faz os outros:

- 2 < 25.x² - 3 < 97 ---> Somando 3

1 < 25.x² < 100 ---> 1/25 < x² < 100/25 ---> 1/25 < x² < 4 ---> Duas possibilidades:

a) 1/25 < x² ---> x² - 1/25 > 0 ---> Parábola com a concavidade voltada para cima.

A função é positiva exteriormente às raízes -1/5 e 1/5 ---> x < - 1/e e x > 1/5

b) x² < 4 ---> x² - 4 < 0 ---> Parábola com a concavidade voltada para cima.

A função é negativa ente as raízes -2 e 2 ---> - 2 < x < 2

Faça o quadro de sinais para ambas as funções e você obterá a interseção - 2 < x < - 1/5 e 1/5 < x < 2

5-¹ < |x| < 2 ---> 1/5 < |x| < 2 --> Temos duas possibilidades:

c) 1/5 < x < 2 ---> idêntica a um dos intervalos da 1ª inequação

d) 1/5 < - x < 2 ---> Temos duas possibilidades

d1) 1/5 < - x ---> x < -1/5
d2) - x < 2 ---> x > - 2

Interseção - 2 < x < - 1/5 ---> Intervalo idêntico ao da primeira inequação


Conclusão: ambas são equivalentes

Só uma dúvida o domínio da função na 16 seria:
1/1 -|2x | > 0   ---> -|2x| > -1 ---> -x > -1/2 ---> x < 1/2
1/1 -|2x | < 0   ---> -|2x| < -1 ---> -x < -1/2 ---> x > 1/2

1/(1 -|2x|) --> 1 - |2x| ≠ 0, já que não existe divisão por zero!

.:. x ≠ 1/2 e x ≠  - 1/2