Equação Trigonométrica

por papiroinsano Seg 23 maio 2016, 10:22

Sendo X= $\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{12}+...$ e Y= $\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{5}+\frac{4\pi}{25}+\frac{16\pi}{125}+...$ , o valor de sen(X + Y) é

(A) $\frac{-\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2}$

(B) $\frac{-\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(C) $\frac{-\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

(D) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Gabarito: Letra B

por **Christian M. Martins** Seg 23 maio 2016, 11:41

$\\ S_{n} = a_{1} + a_{1}q + a_{1}q^{2} + ... \\ qS_{n} = a_{1}q + a_{1}q^{2} + ... \\ \\ S_{n} - qS_{n} = a_{1}\\ S_{n}(1 - q) = a_{1}\\ \\ S_{n} = \frac{a_{1}}{1 - q}\\ \\ \\ \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{12}, ... \; \; \; q = \frac{1}{2}\\ \\ \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{5},\frac{4\pi}{25}, \frac{16\pi}{125}, ... \; \; \; q' = \frac{4}{5}\\ \\ \\ S_{n} = \frac{\frac{\pi}{3}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2\pi}{3}\\ \\\\ S_{n}' = \frac{\frac{\pi}{4}}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{5\pi}{4}$

Reduzindo ao primeiro quadrante:

$\\ \pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}\; \; \; (cosseno\ negativo,\ seno\ positivo)\\ \\\\ \frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \; \; \; (cosseno\ negativo,\ seno\ negativo )$

Somando seus senos:

$\\sen(X + Y) = senXcosY + senYcosX\\\\ sen(X + Y) = \frac{\sqrt{3}}{2}.\left (-\frac{\sqrt{2}}{2} \right ) + \left (-\frac{\sqrt{2}}{2} \right ).\left (-\frac{1}{2} \right )\\ \\\\ \boxed{sen(X + Y) = \frac{-\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}$

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