Determine se f(x) é diferenciavel.

por SixeEngenharia Qui 19 maio 2016, 00:11

Determine se f(x) é diferenciável em x=0 e em x=4.

f(x): 0, se x <= 0
5 - x, se 0 < x <4
1/(5 - x), se x >= 4

Se alguém souber como se faz, fico agradecido.

por **gabrieldpb** Qui 19 maio 2016, 00:45

f(x) é derivável se existe o limite
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Vamos analisar os casos:
i) x=0

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}

f(0)=0, mas o limite de h tendendo a esquerda de 0 é 0, enquanto que o limite de h tendendo a direita de 0 é 5. Logo o limite não existe, porque os limites laterais dele não são iguais. Isso faz a função não ser derivável nessa abscissa.

\lim_{h\rightarrow 0^-}\frac{f(h)-f(0)}{h}=0\neq \lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h}=5

ii) x=5

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h+5)-f(5)}{h}

f(5) está indefinido, pois 1/(5-5)=1/0 é uma indefinição
logo o limite não existe

Resp: Não é derivável em nenhum desses pontos. Abraço!