Considere o plano Π

por João Victor de Souza Seg 25 Abr 2016, 09:52

Considere o plano

Π : 2x + 2y + z = 3

e a reta
r : (x, y, z) = (4, 0, 4) + t · (3, 0, 3), t ∈ R.

(a) Determine o ângulo de incidência θ da reta r no plano Π.
(b) Determine uma parametrização para a reta perpendicular a r e contida no plano Π.

por **laurorio** Seg 25 Abr 2016, 14:53

n1 = (2,2,1)
v1 = (3,0,3)

senâ = l n1 . v1 l / l n1 ll v1 l

n1.v1 = 6 + 3 = 9 ln1l = 3 lv1l = 3V2

senâ = 9 / 3.3V2 = V2/2 ---> arcsen(V2/2) = â = pi/4 ---> ângulo entre a reta e o plano

Interseção da reta e plano:

2(4+3t) + (4 + 3t) = 3
t = -1

Substituindo na reta, temos:
P( 1,0,1 )

Vetor perpendicular à v1 é:

v1 = (3,0,3) v1' = (-3,0,3)

(x,y,z) = (1,0,1) + t(-3,0,3)

Mas se a reta é perpendicular à r ela não está contida no plano, há apenas uma interseção entre a reta perpendicular e o plano.

por Maria José de Oliveira Seg 25 Abr 2016, 19:15

fiz o mesmo cálculo que vc na letra "a".Para a letra "b" também usei o ponto (1,0,1) como ponto da nova reta.Só usei o vetor normal ao plano como sendo o vetor diretor da reta,pois se ela é perpendicular a "r" ela tem a direção do plano.
Por favor me oriente,pois fiquei confusa entre o seu resultado, que faz todo sentido e o meu.
Obrigada

por **laurorio** Seg 25 Abr 2016, 23:09

Maria, não entendi como a reta perpendicular a r pode estar contida no plano, até porque o ângulo entre o plano e a reta é 45°. Estou enganado?

por Maria José de Oliveira Ter 26 Abr 2016, 17:12

Você está correto,depois que mandei a mensagem eu vi no livro e sua resolução está certa.Obrigada.O erro foi meu.

por **laurorio** Ter 26 Abr 2016, 17:28

Que bom!

Você pode me dizer qual é o livro?

por **Medeiros** Ter 26 Abr 2016, 17:57

Olá !

por **Medeiros** Ter 26 Abr 2016, 18:16

Laurorio, o vetor v1' deve ser perpendicular à reta r e ao vetor normal do plano pi. O vetor que você encontrou não atende ao segundo requisito.

Maria José, se esse livro em seu poder concorda com as duas últimas linhas da resolução do Laurorio, ele está errado pois a reta obtida não pertence ao plano pi.

por **laurorio** Ter 26 Abr 2016, 19:35

Muito bom Medeiros. Consegui encontrar os meus erros. Eu não estava vendo que a "nova reta" poderia estar ~~ortogonal~~ contida no plano e ortogonal a reta(r). Mad

Valeu Medeiros

por Maria José de Oliveira Ter 26 Abr 2016, 20:10

Na questão b é pedido uma parametrização para a reta perpendicular a r contida no plano.
Foi por isso que eu imaginei um ponto que pertencesse a r e ao plano e usei como vetor diretor o vetor normal ao plano,pois para ela ser perpendicular a reta r essa nova reta tem que ser paralela ao plano.
Eu só não entendi o que o outro rapaz que respondeu fez.Por que o produto vetorial. Agora voltei a ficar confusa.
Quanto ao livro eu usei o de Geo analítica 2 de cederj,pois faço Matemática no polo Petrópolis.