Comutatividade das operações vetoriais.

por K.BR Dom 24 Abr 2016, 11:58

Use componentes de vetores para provar que dois vetores são comutativos tanto para soma quanto para produto escalar. Prove, também, que os dois vetores são anticomutativos para o produto vetorial; ou seja, prove (vetor)A x (vetor)B = -B(vetor) x A(vetor).

por DiegoAOliveira Qua 18 maio 2016, 18:01

Sejam dois vetores \vec{a}=a_{1}\vec{i}+a_{2}\vec{j}+a_{3}\vec{k} e \vec{b}=b_{1}\vec{i}+b_{2}\vec{j}+b_{3}\vec{k}

O vetor soma
\vec{s}=\vec{a}+\vec{b}=(a_{1}+b_{1})\vec{i}+(a_{2}+b_{2})\vec{j}+(a_{3}+b_{3})\vec{k}=(b_{1}+a_{1})\vec{i}+(b_{2}+a_{2})\vec{j}+(b_{3}+a_{3})\vec{k}=\vec{b}+\vec{a}

Produto Escalar (Seja p\epsilon\Re)
p=\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}+a_{3}.b_{3}=b_{1}.a_{1}+b_{2}.a_{2}+b_{3}.a_{3}=\vec{b}\cdot\vec{a}

Produto Vetorial
\vec{v}=\vec{a}\wedge\vec{b}=

$\begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{j}\\ a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{bmatrix}$ = (a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\vec{i}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\vec{j}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\vec{k}

e \vec{w}=\vec{b}\wedge\vec{a}=

$\begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{j}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{bmatrix}$ =(a_{3}b_{2}-a_{2}b_{3})\vec{i}+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\vec{j}+(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})\vec{k}\rightarrow \vec{v}=-\vec{w}
provada a anticomutatividade do produto vetorial \vec{a}\wedge\vec{b}=-\vec{b}\wedge\vec{a}

Comutatividade das operações vetoriais.

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