funçao limitante

por leticialinda1234 Sex 18 Mar 2016, 19:22

Provar que a função x/x²+1 é limitada
(para provar pode utilizar o recurso do modulo)

por **Carlos Adir** Sex 18 Mar 2016, 21:45

$\\ \mathrm{Seja \ x = tan \ y} \\ \mathrm{S = \dfrac{x}{x^2 + 1}=\dfrac{tan \ y}{1+tan^2 \ y} = \dfrac{tan \ y}{sec^2 \ y}} \\ \mathrm{S = sen \ y \cdot cos \ y=\dfrac{sen \ 2y}{2}}$
Ou seja, temos que podemos reescrever S em termos de x:
$\mathrm{S = \dfrac{sen \left(2 \cdot \arctan x \right )}{2}}$
Como temos que seno é limitado em 1, então segue que a função é limitada em (1/2).
Ou seja, -1/2 ≤ S ≤ 1/2

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