Determinar m na equação

Determinar m para que a equação do segundo grau 
3x²-2(m+2)+m²-6m+8=0 tenha raízes reais tais que x1 < 1 < x2 < 4.

Seja f(x) = ax² + bx + c de raízes x1 < x2 e w um número real
Teorema:
a.f(w) < 0 <--> O número real w se encontra entre as raízes (x1 < w < x2)
a.f(w) > 0 <--> O número real w se encontra fora do intervalo das raízes (w < x1 ou w > x2)

No exercício, queremos que w = 1 esteja dentro do intervalo de raízes e que z = 4 esteja fora do intervalo de raízes.

Imponha, inicialmente, a existência das duas raízes, ou seja, o discriminante maior do que zero.
Em seguida, resolva a equação usando w = 1 e z = 4 aplicando estes valores no teorema apresentado.
Tire a interseção entre os intervalos encontrados e o intervalo para que o discriminante seja maior do que zero e você terá m.

Se aplicar e não conseguir, avise que eu termino a questão.
Se não conhecer o teorema mostrado, posso demonstrá-lo para você.

Phantom escreveu:Seja f(x) = ax² + bx + c de raízes x1 < x2 e w um número real
Teorema:
a.f(w) > 0 <--> O número real w se encontra entre as raízes (x1 < w < x2)
a.f(w) < 0 <--> O número real w se encontra fora do intervalo das raízes (w < x1 ou w > x2)

No exercício, queremos que w = 1 esteja dentro do intervalo de raízes e que z = 4 esteja fora do intervalo de raízes.

Imponha, inicialmente, a existência das duas raízes, ou seja, o discriminante maior do que zero.
Em seguida, resolva a equação usando w = 1 e z = 4 aplicando estes valores no teorema apresentado.
Tire a interseção entre os intervalos encontrados e o intervalo para que o discriminante seja maior do que zero e você terá m.


Se aplicar e não conseguir, avise que eu termino a questão.
Se não conhecer o teorema mostrado, posso demonstrá-lo para você.

 
Sim, eu conheço o teorema, mas não mostrado, se puder mostrar eu apreciaria muito Estava tentando resolver por ele e vou te mostrar minha resolução; tem que haver algum lugar que eu tenha errado, mas já fiz e refiz umas 10 vezes essas continhas, e sempre encontro o mesmo resultado:
 
Δ > 0
(-2m-4)-4.3( m²-6m+8 ) > 0
-8m²+56m-80 > 0
 ∴ 2 < m < 5 

a(f(1) < 0
3.(2-2(m+2).1+m²-6m+8 < 0
3m³ - 24m +21 < 0
∴ 1 < m < 7


a(f(4) > 0
3(3.4²-2(m+2).4+m²-6m+8 > 0
3m²-42+120 > 0
∴ m < 4 ou m > 10


Interseção encontrada: 2 < m < 4


Gabarito: 1 < m < 4 

ta quase lá hahah, falta só unzinho, consegue visualizar meu erro?

Primeiramente, eu digitei errado o teorema, rs. Já corrigi.

"Δ > 0
(-2m-4)-4.3( m²-6m+8 ) > 0
-8m²+56m-80 > 0
 ∴ 2 < m < 5 "

Vou chamar de D o discriminante (o "delta").
D = b² - 4ac.
O primeiro erro é no enunciado, acredito eu.
"3x²-2(m+2)+m²-6m+8=0"



B é o coeficiente do termo de primeiro grau, isto é, o coeficiente do termo em que aparece o "x" elevado a primeira. No enunciado apresentado, não há termo de primeiro grau, apenas um termo de segundo grau ("3x²") e um termo independente. Mas como você chamou -2(m+2) de b, eu suponho que -2(m+2) seja o coeficiente de x, e o enunciado correto seria:
"3x² - 2(m+2)x + (m²-6m+8 ) = 0".

Vamos desenvolver D.
D = b² - 4ac = (-2m-4)² - 4(3)(m²-6m+8 ) = (-2m-4)² - 12(m²-6m+8 )

4m² + 16m + 16 - 12m² + 72m - 96 = 
-8m² + 88m - 80 = D > 0
<--> 1 < m < 10 (diferente do seu intervalo)

a.f(w) < 0, para w = 1 e a = 3, de forma que x1 < w < x2 --> a.f(1) < 0 --> 3m² - 24m + 21 < 0
--> 1 < m < 7


a.f(z) >0 0, para z = 4 e a = 3, de forma que z < x1 ou z > x2
--> a.f(4) > 0 --> 3(3*16 - 8(m+2) + m² - 6m + 8 ) > 0 
--> 3m² - 42m + 120 > 0 --> m < 4 ou m > 10


Tirando a interseção entre os três intervalos, temos o gabarito: 1 < m < 4

Estou no celular, quando chegar em casa eu demonstro com clareza, ok?

Phantom escreveu:Primeiramente, eu digitei errado o teorema, rs. Já corrigi.

"Δ > 0
(-2m-4)-4.3( m²-6m+8 ) > 0
-8m²+56m-80 > 0
 ∴ 2 < m < 5 "

Vou chamar de D o discriminante (o "delta").
D = b² - 4ac.
O primeiro erro é no enunciado, acredito eu.
"3x²-2(m+2)+m²-6m+8=0"



B é o coeficiente do termo de primeiro grau, isto é, o coeficiente do termo em que aparece o "x" elevado a primeira. No enunciado apresentado, não há termo de primeiro grau, apenas um termo de segundo grau ("3x²") e um termo independente. Mas como você chamou -2(m+2) de b, eu suponho que -2(m+2) seja o coeficiente de x, e o enunciado correto seria:
"3x² - 2(m+2)x + (m²-6m+8 ) = 0".

Vamos desenvolver D.
D = b² - 4ac = (-2m-4)² - 4(3)(m²-6m+8 ) = (-2m-4)² - 12(m²-6m+8 )

4m² + 16m + 16 - 12m² + 72m - 96 = 
-8m² + 88m - 80 = D > 0
<--> 1 < m < 10 (diferente do seu intervalo)

a.f(w) < 0, para w = 1 e a = 3, de forma que x1 < w < x2 --> a.f(1) < 0 --> 3m² - 24m + 21 < 0
--> 1 < m < 7


a.f(z) >0 0, para z = 4 e a = 3, de forma que z < x1 ou z > x2
--> a.f(4) > 0 --> 3(3*16 - 8(m+2) + m² - 6m + 8 ) > 0 
--> 3m² - 42m + 120 > 0 --> m < 4 ou m > 10


Tirando a interseção entre os três intervalos, temos o gabarito: 1 < m < 4

O produto notável, que coisa, eu não acredito que era isso que eu tava errando hahah :geek:
E sim cometi um errinho de enunciado, desculpe, o correto seria mesmo "3x² - 2(m+2)x + (m²-6m+8 ) = 0"
Enfim, muito obrigada por esclarecer tudo phantom!

Bom dia,


Vale lembrar que para garantir que x1<1 indica apenas que o m e  f(x) têm o mesmo sinal, e portanto, a.f(4) >0:


Fazendo (S/2)<4 => (-b/2a)<4 => {-[-2(m+2)]}/2.3 <4 => {-[-2m-4]}/6 <4 => [2m+4]/6 <4

(2m+4)/6 -4 <0 => fazendo mmc => (2m + 4 - 24)/6 <0 => (2m -20)/6 <0

Para terminarmos, podemos desconsiderar o 6 pois ele é positivo e não irá alterar o sinal do gráfico final.

A raíz será m=10 e como o coeficiente angular é positivo (2), a reta é crescente, como a.f(4)<0, então m<10, fazendo a interseção com os outros resultados das respostas anteriores chegaremos ao mesmo gabarito.

Espero ter ajudado quem veio perdido do FME igual a mim kkkkkk