Polinomios unioeste 2016

por invertor Qua 02 Mar 2016, 20:27

Respeito do polinômio p(x)=(x⁴−1) (x−1)⁴ , é CORRETO afirmar que.

A. possui 8 raízes distintas.
B. possui 4 raízes reais distintas.
C. possui apenas as raízes 1 e -1.
D. possui 4 raízes complexas não reais.
E. possui duas raízes reais e duas complexas não reais.

GABARITO:E

por **Jader** Qua 02 Mar 2016, 20:37

Esse polinômio tem o 1 como raiz de multiplicidade 4 no pedaço (x-1)^4

No pedaço (x^4-1) você tira que quando esse fator zerar
x^4-1=0
X^4=1
x=raiz quarta de 1
Fazendo a raiz quarta de 1 vera que as soluções serão 1, -1 e mais duas outras raízes complexas

Logo, esse polinômio terá duas raízes reais, a saber 1 e -1 e duas compelxas derivadas do resultado da raiz quarta de 1

Perdoe-me pela má formatação da minha postagem, pois estou escrevendo pelo celular.

por **Elcioschin** Qua 02 Mar 2016, 21:17

Para entender o que o Jader disse:

x⁴ - 1 = (x² - 1).(x² + 1) = (x + 1).(x - 1).(x + i).(x - i)

Raízes reais ---> -1 e +1
Raízes imaginárias ---> -i e +i

por poppermatemático Qua 15 Jun 2022, 13:28

Elcioschin escreveu:Para entender o que o Jader disse:

x⁴ - 1 = (x² - 1).(x² + 1) = (x + 1).(x - 1).(x + i).(x - i)

Raízes reais ---> -1 e +1
Raízes imaginárias ---> -i e +i

Olá, eu consegui entender até essa parte x⁴ - 1 = (x² - 1).(x² + 1). Mas como posso deduzir que isso é = (x+1).(x-1).(x+i).(x-i)?
Não entendi como aparecem essas raizes imaginarias...

por **qedpetrich** Qua 15 Jun 2022, 13:36

Olá popper;

A manipulação algébrica feita pelo Mestre Elcio, foi utilizar o fato de serem a diferença de quadrados, veja:

a² - b² = (a+b).(a-b)

Aplicando tal relação:

(x² - 1) = (x + 1).(x - 1)

(x² + 1) = (x + i)(x - i) → x² - i²

Mas i² = -1, logo → (x² - i²) = x² - (-1) = (x² + 1)

.:. (x² + 1) = (x² - i²) = (x + i).(x - i)

Dúvidas pontue. Smile

por **Elcioschin** Qua 15 Jun 2022, 15:01

Outro modo para explicar a fatoração ---> x² + 1 = 0

x² = - 1 ---> x = ± √(-1) ---> x = ± i ---> x = - i e x = + i

Fatorando: x² + 1 = (x + i).(x - i)