Questão de desigualdade de radiciação(FUVEST)

por RafaelDouglas Ter 01 Mar 2016, 00:36

(FUVEST) Usando $\left ( 1,41 \right )^{2}<2< \left (1,42\right )^{2}$ prove que :

$6,1 < \frac{50}{1+\sqrt{50}} <6,3$
Para resolver esta questão :

1- Primeiro eu racionalizei para tirar a raiz do denominador e encontrei

$\frac{50-50\sqrt{50}}{1+50}$

2- Elevei todas ao quadrado

Mas não cheguei a uma relação do tipo que foi apresentada no exemplo acima como .

$\left ( 6,1 \right )^{^{2}} < \left (\frac{50 -\sqrt{50}}{51} \right )^{2} <\left ( 6,3\right )^{2}$

Alguém poderia me ajudar ?

por **Carlos Adir** Ter 01 Mar 2016, 08:37

Partindo do enunciado:
$\\ \mathrm{1,41 < \sqrt{2} < 1,42} \\ \mathrm{5 \cdot 1,41 < 5 \cdot \sqrt{2} < 5 \cdot 1,42} \\ \mathrm{7,05 < \sqrt{50} < 7,1}$
Então somamos 1 e elevamos a (-1):
$\\ \mathrm{7,05 < \sqrt{50} < 7,1} \\ \mathrm{8,05 < 1+\sqrt{50} < 8,1} \\ \mathrm{\dfrac{1}{8,1} < \dfrac{1}{1+\sqrt{50}}< \dfrac{1}{8,05}} \\ \mathrm{\dfrac{50}{8,1} < \dfrac{50}{1+\sqrt{50}} < \dfrac{50}{8,05}}$
Agora, basta que tiramos as "virgulas" dos extremos, e para isso fazemos um modo:
$\\ \mathrm{\dfrac{50}{8,1} < \dfrac{50}{1+\sqrt{50}} < \dfrac{50}{8,05}} \\ \mathrm{\dfrac{50 \cdot 10}{81} < \dfrac{50}{1+\sqrt{50}} < \dfrac{50 \cdot 100}{805}} \\ \mathrm{\dfrac{500}{81} < \dfrac{50}{1+\sqrt{50}} < \dfrac{1000}{161}} \\ \mathrm{6,18 < \dfrac{50}{1+\sqrt{50}} < 6,21}$
E chegamos na nossa expressão.
$\mathrm{6,1 < 6,18 < \dfrac{50}{1+\sqrt{50}} < 6,21 < 6,3}$

por RafaelDouglas Sáb 05 Mar 2016, 22:09

Carlos Adir escreveu:Partindo do enunciado:
$\\ \mathrm{1,41 < \sqrt{2} < 1,42} \\ \mathrm{5 \cdot 1,41 < 5 \cdot \sqrt{2} < 5 \cdot 1,42} \\ \mathrm{7,05 < \sqrt{50} < 7,1}$
Então somamos 1 e elevamos a (-1):
$\\ \mathrm{7,05 < \sqrt{50} < 7,1} \\ \mathrm{8,05 < 1+\sqrt{50} < 8,1} \\ \mathrm{\dfrac{1}{8,1} < \dfrac{1}{1+\sqrt{50}}< \dfrac{1}{8,05}} \\ \mathrm{\dfrac{50}{8,1} < \dfrac{50}{1+\sqrt{50}} < \dfrac{50}{8,05}}$
Agora, basta que tiramos as "virgulas" dos extremos, e para isso fazemos um modo:
$\\ \mathrm{\dfrac{50}{8,1} < \dfrac{50}{1+\sqrt{50}} < \dfrac{50}{8,05}} \\ \mathrm{\dfrac{50 \cdot 10}{81} < \dfrac{50}{1+\sqrt{50}} < \dfrac{50 \cdot 100}{805}} \\ \mathrm{\dfrac{500}{81} < \dfrac{50}{1+\sqrt{50}} < \dfrac{1000}{161}} \\ \mathrm{6,18 < \dfrac{50}{1+\sqrt{50}} < 6,21}$
E chegamos na nossa expressão.
$\mathrm{6,1 < 6,18 < \dfrac{50}{1+\sqrt{50}} < 6,21 < 6,3}$

NUNCA QUE IRIA PENSAR NESTE CÁLCULO !!
Muito obrigado mesmo Carlos Adir .

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