Área do quadrilátero numa semi-circunferência

por Gustavoadp Dom 28 Fev 2016, 23:45

Na figura abaixo, o quadrilátero ABCD está inscrito numa semi-circunferência de centro A e raio AB=AC=AD=R. A diagonal AC forma com os lados BC e AD ângulos α e β, respectivamente. Logo, a área do quadrilátero ABCD é:
[img] Área do quadrilátero numa semi-circunferência 1zcihw5

Área do quadrilátero numa semi-circunferência 1zcihw5

[/img]
Alguém pode fazer essa questão assim:
Calculando a área de ADC pelo seno de β e SOMANDO com a área de ACB calculada pelo seno de α?
Daquela fórmula: S = Senx.a.b/2
É que eu fiz de outro jeito, mas foi muito longo. Tentei fazer por esse que citei acima, mas não consegui.

por **Baltuilhe** Seg 29 Fev 2016, 01:10

Boa noite!

A área seria dada pela soma das áreas dos triângulos, conforme você mesmo falou. No caso, para o triângulo ABC ficaria faltando somente o ângulo A, que pode ser obtido percebendo-se ser um triângulo isósceles (AC=AB). Então:
\\\widehat{A}=180-2\alpha

Então, calculando a área:
\\A=\frac{R^2\sin(\beta)}{2}+\frac{R^2\sin(180-2\alpha)}{2}\\A=\frac{R^2}{2}(\sin(2\alpha)+\sin(\beta))

O que utilizei foi a propriedade de que dois ângulos suplementares tem mesmos senos!

Espero ter ajudado!

por Gustavoadp Seg 29 Fev 2016, 08:36

Valeu!
Agora eu voltei na questão e pensei de outro jeito.
Tem como fazer a área do ACB achando o lado CB?
Pra, depois, colocar S(ABC) = Senα.R.CB/2
Queria saber qual a forma de achar o lado CB pra depois colocar na fórmula.

por _danielgnr Qui 04 maio 2017, 00:17

De onde surge a fórmula S = Senx.a.b/2 ?

por diguidin Qui 04 maio 2017, 00:30

A área de todo triângulo conhecendo pelo menos um ângulo e seus dois lados pode ser calculado dessa forma: a.b.senx/2

por _danielgnr Qui 04 maio 2017, 00:44

Muito obrigado pela dica!

Você conhece o link para alguma demonstração?

por diguidin Qui 04 maio 2017, 01:11

Desenhe um triângulo com sua base medindo "a" e um outro lado medindo "b". Faça também o segmento da altura "h" do triângulo formando 90º com a base e chame o ângulo do canto entre o lado b e a de x. Área do triângulo vai ser a.h/2, mas se você fizer o senx vai ter senx=h/b, portanto, h=b.senx. Agora só substituir o valor de h na fórmula da área do triângulo: a.(b.senx)/2.