Equação modular

por Havock44 Qui 25 Fev 2016, 16:19

Questão:Resolva a equação: l 2x+1 l - l 3-x l = l x-4 l

por **Carlos Adir** Sex 26 Fev 2016, 13:44

$\\ \mathrm{|2x+1|=}\begin{cases}\mathrm{-2x-1, \ \ se \ x < \dfrac{-1}{2}} \\ \mathrm{2x+1, \ \ se \ \dfrac{-1}{2} \le x} \end{cases} \\ \mathrm{|3-x|=}\begin{cases}\mathrm{3-x, \ \ se \ x < 3} \\ \mathrm{x-3, \ \ se \ 3 \le x} \end{cases} \\ \mathrm{|x-4|=}\begin{cases}\mathrm{4-x, \ \ se \ x < 4} \\ \mathrm{x-4, \ \ se \ 4 \le x} \end{cases}$
Então juntando tudo:
$\\ \begin{cases}\mathrm{(-2x-1)-(3-x)=4-x, \ \ se \ x < \dfrac{-1}{2}} \\ \mathrm{(2x+1)-(3-x)=4-x, \ \ se \ \dfrac{-1}{2} \le x < 3} \\ \mathrm{(2x+1)-(x-3)=4-x, \ \ se \ 3 \le x < 4} \\ \mathrm{(2x+1)-(x-3)=x-4 \ \ se \ 4 \le x}\end{cases} \\ \begin{cases}\mathrm{0=8, \ \ se \ x < \dfrac{-1}{2}} \\ \mathrm{2x=3, \ \ se \ \dfrac{-1}{2} \le x < 3} \\ \mathrm{x=0, \ \ se \ 3 \le x < 4} \\ \mathrm{8=0 \ \ se \ 4 \le x}\end{cases}$
Então, a unica solução é a x=3/2, visto que é o unico resultado que pertence ao intervalo correto.

por Havock44 Sex 26 Fev 2016, 14:26

Não teríamos que fazer todos os 8 casos? ( temos duas opções para cada módulo : 2.2.2=8 )

por **Carlos Adir** Sáb 27 Fev 2016, 11:32

Não, não teriamos que fazer 8 casos, somente 3+1=4 casos.
Isso porque, é impossivel que tenhamos |3-x| = 3-x (este caso se x < 3) e ao mesmo tempo |x-4| = x-4 (este caso se x ≥ 4). Há alguma maneira de x ser menor que 3 e maior que 4 ao mesmo tempo? Se sim, então é necessário verificar 8 casos.

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