Geometria Plana - Área do Trapézio

por **luiseduardo** Sex 10 Dez 2010, 18:25

Relembrando a primeira mensagem :

Em um trapézio ABCD, AB || CD, AB = 4 e CD = 10. Suponha que as linhas AC e BD cruzam em ângulos retos, e que as linhas BC e DA, quando prolongadas até um ponto Q formam um ângulo de 45 graus. Calcule a área do trapézio ABCD.

Geometria Plana - Área do Trapézio - Página 2 Calsg

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gab:

Spoiler:

por **luiseduardo** Sáb 11 Dez 2010, 11:29

Solução:

A razão entre os lados paralelos é:

AB/CD = 2/5

AP = 2x
BP = 2y
CP = 5x
DP = 5y

Perceba que se A^PB = 90 graus, então, a área do trapézio será: (AC*BD)/2 = 49*xy/2
(Se não tiver visto isso é só fazer: ABCD = ABD + CBD = AP*BD/2 + CP*BD/2 = AC*BD/2)

Agora considerando o ângulo "a" = A^DP e "b" = B^CP. Nos triângulos ADP e BCP, nós encontramos:

tg a = AP/DP = 2x/5y
tg b = BP/CP = 2y/5x

Note que C^PD = C^QD + Q^CP + Q^DP, assim encontramos que a + b = 45 graus.

tg 45 = 1
tg(a + b) = (tg a + tg b)/(1 - tg a*tg b) = (2x/5y + 2y/5x)/(1 - 2x*2y/5y*5x) = 10*(x² + y²)/21xy

10*(x² + y²)/21xy = 1
xy = 10*(x² + y²)/21

No triângulo, ABP:

4(x² + y²) = 16
x² + y² = 4

xy = 10*4/21 = 40/21

Agora é só substituir o valor de xy na área do trapézio:

ABCD = 49xy/2 = 49*40/21*2 = 1960/42 = 980/21 = 140/3