Geometria Plana - Área do Trapézio

por **luiseduardo** Sex 10 Dez 2010, 18:25

Em um trapézio ABCD, AB || CD, AB = 4 e CD = 10. Suponha que as linhas AC e BD cruzam em ângulos retos, e que as linhas BC e DA, quando prolongadas até um ponto Q formam um ângulo de 45 graus. Calcule a área do trapézio ABCD.

Geometria Plana - Área do Trapézio Calsg

Geometria Plana - Área do Trapézio Calsg

gab:

Spoiler:

por **Euclides** Sex 10 Dez 2010, 22:21

Geometria Plana - Área do Trapézio Yodacopy

$\\PB=2\sqrt{2}\hspace{30}PD=5\sqrt{2}\\\\PM=\sqrt{PB^2-BM^2}\,\,\to\,\,PM=2\\\\PN=\sqrt{PD^2-CN^2}\,\,\,\to\,\,PN=5\\\\ A=\frac{4+10}{2}\cdot 7\,\,\to\,\,49$

estou errando?

por **luiseduardo** Sex 10 Dez 2010, 22:40

Euclides,
Acredito que não seja possível traçar essa reta que além de dividir o lado em dois iguais e ser bissetriz do ângulo.
E por que circunscreveu o triângulo ? Ele não é equilátero, acredito que isso não daria certo.

É uma questão bem interessante essa.

por **luiseduardo** Sex 10 Dez 2010, 22:42

Não sabemos o valor dos lados PB e PD, podem ser quais quer valores, pois existe uma razão, entre as paralelas. Veja se ajuda:

AB/CD = 4/10

AB/CD = 2/5

por **Euclides** Sex 10 Dez 2010, 23:02

luiseduardo escreveu:Euclides,
Acredito que não seja possível traçar essa reta que além de dividir o lado em dois iguais e ser bissetriz do ângulo.
E por que circunscreveu o triângulo ? Ele não é equilátero, acredito que isso não daria certo.

É uma questão bem interessante essa.

Os dois ângulos cobrem a mesma corda e um é metade do outro: estão na mesma circunferência.

por **luiseduardo** Sex 10 Dez 2010, 23:08

Mas como estariam na mesma circunferência já que o triângulo é escaleno ?
Acredito que isso é só uma "coincidência" o fato do ângulo de 45 ser metade do de noventa que está mais a frente.

Existe uma outra forma de resolver Euclides, eu tenho a resolução aqui. Uma forma seria usando semelhança e "proporcionalidade".

por **Euclides** Sex 10 Dez 2010, 23:55

A propriedade é esta:

Geometria Plana - Área do Trapézio Yodacopy

por DouglasM Sáb 11 Dez 2010, 10:17

Bom dia a todos. A resolução desse problema (pelo menos a que encontrei) é usando a "força bruta". Então vamos começar:

Considerações iniciais:

AP = a
BP = b
CP = 5/2 a
DP = 5/2 b

1º: Podemos observar que a área do trapézio (a soma das áreas dos quatro triângulos que o compõem), em função de "a" e "b", é :

$S = \frac{a.b}{2} + \frac{5a.b}{2.2} + \frac{5a.5b}{2.2.2} + \frac{a.5b}{2.2} = \frac{49.ab}{8}\;u.a.$

2º: Agora devemos encontrar relações (precisamente duas delas) que nos permitam determinar os valores de "a" e "b" (ou o que seria ainda mais conveniente, o valor de "ab"):

Pelo triângulo ABP temos:

$a^2 + b^2 = 16$

Pela semelhança dos triângulos ABQ e DCQ, encontramos o seguinte:

QA = 2/3 AD

QB = 2/3 BC

Utilizando a lei dos cossenos no triângulo ABQ:

$16 = \frac{4}{9}\left(a^2 + \frac{25}{4}b^2\right) + \frac{4}{9}\left(\frac{25}{4}a^2 + b^2\right) - \frac{4}{9}\left(\sqrt{2}\;.\;\sqrt{a^2 + \frac{25}{4}b^2}\;.\;\sqrt{\frac{25}{4}a^2 + b^2}\right)\;\therefore$

$36 = \left(a^2 + \frac{25}{4}b^2\right) + \left(\frac{25}{4}a^2 + b^2\right) - \sqrt{2}\;.\;\sqrt{\frac{100}{16}.[a^4 + 2a^2b^2 + b^4]+\frac{441}{16}a^2b^2}\;\therefore$

$36 = \frac{29}{4}.(a^2+b^2) - \frac{1}{4}\sqrt{200.[a^2+b^2]^2+ 882\;a^2b^2}\;\therefore$

Substituindo a primeira relação encontrada (a² + b² = 16):

$144 = 464 - \sqrt{51200 + 882\;a^2b^2}\;\therefore$

$\sqrt{51200 + 882\;a^2b^2} = 320\;\therefore$

Agora basta elevarmos ambos ao quadrado e descobrir o valor de "ab":

$a^2b^2 = \frac{51200}{882} = \frac{25600}{441} \;\therefore$

$ab = \frac{160}{21}$

3º: Finalmente substituímos o valor encontrado e determinamos a área pedida:

$S = \frac{49}{8}.ab = \frac{49}{8}\;.\;\frac{160}{21} = \frac{140}{3}\;u.a.$