Numero Complexo

Represente o número complexo Z = - 2 - 2i na forma trigonométrica.

Minha resposta deu 2√2( Cos( 3pi/4 ) + Sen( 3pi/4 )).
Mas a resposta do livro é: 2√2( Cos( 5pi/4 ) + Sen( 5pi/4 )).

Qual está certa? e porquê?

Na forma trigonométrica, quando calculamos o Cos e o Sen e obtemos resultados distintos, como por exemplo:
Cos Θ = (-√2/2) = Cos Θ (- Pi/4) e
Sen Θ = (√2/2),
daí como o Cos está negativo, somamos Pi e fica:
Cos Θ = 3Pi/3
e com isso o Sen Θ que era um valor qualquer, fica o mesmo 3Pi/3 do Cos..
Porque pegamos este mesmo valor de Cos acrescido de Pi e o colocamos em Sen independente do valor que tinha antes?

Mostre-nos a sua resolução que talvez podemos achar o erro.
Mas um indício que sua resposta está errada é que veja que o cos(3pi/4) é negativo, mas o seno é positivo.
Outra erro que vejo é omitir a letra "i".

Uma maneira de resolução é abaixo:



A maneira para saber por qual "multiplicar e dividir" é como abaixo:



Não esqueça da multiplicação pelo "i" pois existe parte imaginária. Caso não coloque, entende-se de um numero real.

Obrigado pela resposta! Agora vi na onde errei: Em -√2/2 => -Pi/4, como está negativo, pra ficar positivo somei com Pi, que deu 3Pi/4. O que é errado pois tenho que ver no Círculo trigonométrico o valor correspondente nos quadrantes.

Em -1/√2 você transformou direto em 5Pi/4. Sabia o valor de cabeça ou fez um círculo trigonométrico?

Com a prática nem é necessário fazer o círculo trigonométrico pois ao ver que o primeiro valor e segundo valor é negativo, então estão no terceiro quadrante. Caso não soubermos qual é o ângulo, então é bom desenhar o circulo e verificar quando que o primeiro valor é negativo(você vai achar o segundo e terceiro quadrante) e o segundo valor(o complexo) é negativo no terceiro e no quarto. O unico ângulo que satisfaz os dois ao mesmo tempo é o terceiro, e foi assim que obtive o ângulo.
Então o segredo seria: Desenhe o circulo trigonométrico, ache em qual quadrante que é.

Mas veja que você não pode simplesmente somar "pi", mas sim "dois pi". A diferença é que sen(x + pi) = - sen x = sen (-x).
Ou seja, não é a mesma coisa.
Há algumas maneiras de saber se o seno é o mesmo para angulos diferentes, como mostra no link abaixo(ultima parte da primeira mensagem, na parte "Decorrência destas relações"):
Demonstração de identidades trigonométricas

Obrigado pela ajuda! Belo Tópico.