Equação trigonométrica

por 4Edro Ter 02 Fev 2016, 22:15

Sabendo que tg^2(x+\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}, para algum x E [0,pi/2], determine sen x

Gabarito: \frac{3-\sqrt{6}}{6}

por Convidado Ter 02 Fev 2016, 23:24

Oi amigo,

\tan^2{(x+\frac{\pi}{6})}=\frac{1}{2}

2\sin^2{(x+\frac{\pi}{6})}=\cos^2{(x+\frac{\pi}{6})}

2\sin^2{(x+\frac{\pi}{6})}=1-\sin^2{(x+\frac{\pi}{6})}

3\sin^2{(x+\frac{\pi}{6})}=1

\sin^2{(x+\frac{\pi}{6})}=\frac{1}{3}

[\sin{x}\cos{\frac{\pi}{6}}+\cos{x}\sin{\frac{\pi}{6}}]^2=\frac{1}{3}

[\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{x}+\frac{1}{2}\cos{x}]^2=\frac{1}{3}

\frac{3}{4}\sin^2{x}+\frac{1}{4}\cos^2{x}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{x}\cos{x}=\frac{1}{3}

\frac{1}{2}\sin^2{x}+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{x}\cos{x}=\frac{1}{3}

\frac{1}{2}\sin^2{x}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{x}\cos{x}=\frac{1}{12}

Divide por cos²(x):

\frac{1}{2}\tan^2{x}+\frac{\sqrt{3}}{2}\tan{x}=\frac{\sec^2{x}}{12}

Só que sec²(x)=1+tan²(x):

\frac{1}{2}\tan^2{x}+\frac{\sqrt{3}}{2}\tan{x}=\frac{1+\tan^2{x}}{12}

\frac{5}{12}\tan^2{x}+\frac{\sqrt{3}}{2}\tan{x}-\frac{1}{12}=0

Resolvendo, encontramos:

\tan{x}=\frac{-3\sqrt{3}\pm4\sqrt{2}}{5}

Como x está entre [0,pi/2], tan(x) é positiva, logo:

\tan{x}=\frac{4\sqrt{2}-3\sqrt{3}}{5}

\cot{x}=\frac{5}{4\sqrt{2}-3\sqrt{3}}=4\sqrt{2}+3\sqrt{3}

\csc^2{x}=1+\cot^2{x}=1+(4\sqrt{2}+3\sqrt{3})^2=60+24\sqrt{6}

\sin^2{x}=\frac{1}{\csc^2{x}}=\frac{1}{60+24\sqrt{6}}=\frac{60-24\sqrt{6}}{144}

\sin{x}=\frac{\sqrt{60-24\sqrt{6}}}{12}

\sin{x}=\frac{\sqrt{6^2+4\cdot 6-2\cdot 6\cdot 2\sqrt{6}}}{12}

\sin{x}=\frac{6-2\sqrt{6}}{12}

\sin{x}=\frac{3-\sqrt{6}}{6}

Espero ter ajudado, abraço!

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