Dúvida de Questão da FGV

por kablehood Sex 29 Jan 2016, 10:24

Apesar de simples, estou com muita dificuldade em compreender como resolver essa questão. Seria possível alguém me explicar da maneira mais didática possível? Muito obrigado!

Na figura a seguir, ABCD é um quadrado de lado 6, CN = 2 e DM =1 . A área do triângulo PMN é?

Dúvida de Questão da FGV Sdlngj

por **gilberto97** Sex 29 Jan 2016, 11:27

Se DM = 1 e CN = 2, então MN = 3, pois CN + MN + DM = 6 é o lado do quadrado. Assim, MN é a base média do triângulo ABP e é paralelo a AB, logo os triângulos PMN e PAB são semelhantes.

Chamando de h a altura de PMN e h + 6 a alltura de PAB, temos:

\frac{h}{h+6}=\frac{3}{6}

Note que 6 é o lado AB, base do triângulo PAB. Dessa forma, resolvendo a equação acima, encontramos h = 6. Então, a área do triângulo PMN é

S = \frac{MN.h}{2}

S = \frac{3.6}{2}

S = 9

Note que a área do triângulo maior (PAB) é igual a 36 (cálculo análogo). Assim, podemos dizer que

\left ( \frac{MN}{AB} \right )^{2} = \frac{S_{PMN}}{S_{PAB}}

obedecendo a razão de semelhança.

Abraço!