Espacial

por pedrim27 Sex 25 Dez 2015, 17:40

As dimensões de um paralelepípedo retângulo são diretamente proporcionais aos números 2,3 e 5. Se a diagonal desse paralelepípedo mede 2√19,indicado por V o seu volume, obtenha V/√2

Gabarito:

por **rodrigoneves** Sex 25 Dez 2015, 18:07

Sejam a, b, c as dimensões do paralelepípedo e d sua diagonal; do enunciado, temos que
\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5}
Podemos igualar este quociente a uma constante k, de modo que teremos
a = 2k, b=3k, c=5k
Desse modo, o volume do paralelepípedo fica determinado pela expressão
V = abc = 30k^3 \, \text{(i)}
A diagonal de qualquer paralelepípedo reto-retângulo é calculada pela extensão do teorema de Pitágoras à dimensão 3:
d^2 = a^2 + b^2 + c^2
Portanto
\left( 2\sqrt{19} \right)^2 = (2k)^2 + (3k)^2 + (5k)^2 \Rightarrow 4 \cdot 19 = 4k^2 + 9k^2 + 25k^2 = 38k^2 \Rightarrow k^2 = 2 \Rightarrow k = \sqrt{2}
Agora voltamos na expressão (i):
V = 30 \left(\sqrt{2}\right)^3 = 30 \cdot 2\sqrt{2} \therefore \boxed{\frac{V}{\sqrt{2}} = 60}

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