Função quadrática

Boa noite.

(O tema da questão, mais especificamente, é, novamente, "posição de um número em relação às raízes de uma equação do 2º grau", mas como não é possível esse título para o tópico então não o coloquei)

Considere a função quadrática definida por: f(x) = (3a - 2)x² + 2ax + 3a. Determine a para que a equação f(x) = 0 admita uma raiz, e uma só, "entre" -1 e 0. (Sugestão: exercício anterior)
Obs.: a sugestão dada é um exercício que eu já postei aqui e me ajudaram a resolver. Aqui está o link.

Gabarito: 0 < a < 1/2

Tentei resolver da seguinte maneira:

f(-1) = (3a - 2)(-1)² + 2a(-1) + 3a ⇔ f(-1) = 3a - 2 - 2a + 3a ⇔ f(-1) = 4a - 2
f(0) = (3a - 2)(0)² + 2a(0) + 3a ⇔ f(0) = 3a

Daí fiz f(-1) e f(0) igual a zero: 
4a - 2 = 0 ⇔ a = 1/2
3a = 0 ⇔ a = 0 

Feito isso, considerei a questão como resolvida, mas deixei um sinal de interrogação. Pois bem, voltei nela agora e gostaria de saber se essa minha resolução está correta e se há uma maneira de resolver "direto" e obter como resultado 0 < a < 1/2. Eu olhei a questão anterior e saquei que o que o exercício pede é meio que o contrário dela. Tentei imaginar uma resolução baseada no exercício anterior, voltei na teoria e nos exercícios resolvidos, mas não tive nenhum sucesso.

E aí, beleza?

Você não demonstrou que a raiz está entre o intervalo desejado e também não chegou no gabarito, ou refutou-o de forma coerente.

Mas, seguindo sua linha de raciocínio, podemos fazer assim:

Primeiro supomos que a função possuí uma, e somente uma raiz e que ela está no intervalo ]-1,0[.   

Como a função só possuí uma raiz (raiz dupla; delta igual à zero) e por ser uma função quadrática (possuí como gráfico uma parábola), para um valor único de x a imagem será nula e para todos os outros valores de x a imagem terá sempre o mesmo sinal.

Sabendo disso, poderíamos dizer que a imagem de 0 é definitivamente maior que a imagem da raiz e que a imagem de -1 é definitivamente maior que a imagem da raiz, se a concavidade for voltada para cima, e que a imagem de 0 é definitivamente menor que a imagem da raiz e que a imagem de -1 é definitivamente menor que a imagem da raiz, se a concavidade for voltada para baixo.

E com isso: 
f(-1) = (3a - 2)(-1)² + 2a(-1) + 3a ⇔ f(-1) = 3a - 2 - 2a + 3a ⇔ f(-1) = 4a - 2
f(0) = (3a - 2)(0)² + 2a(0) + 3a ⇔ f(0) = 3a

Portanto: 4a - 2 > 0 ⇔ a > 1/2                
             3a > 0 ⇔ a > 0                                             
             a > 1/2                     se a concavidade for voltada para cima    
 
(note que a > 1/2  não garante que a concavidade seja voltada para cima, para que a concavidade seja voltada para cima  a > 2/3)      


             4a - 2 < 0 ⇔ a < 1/2 
             3a < 0 ⇔ a < 0
             a < 0                       se a concavidade for voltada para baixo


(note que a < 0  não garante que a concavidade seja voltada para baixo, para que a concavidade seja voltada para baixo  a < 2/3)    

                                                     
Então há duas soluções, que dependem da concavidade, e não uma, já que é não é possível o gráfico de uma função quadrática ter duas concavidades.
S = {a > 2/3 , a < 2/3}


PROBLEMA: Isso só vale se a função tiver apenas uma raiz e ela estiver no intervalo ]-1,0[  e isso não acontece porque posso provar que não há como essa função ter apenas uma raiz e essa raiz estar no intervalo ]-1,0[


   (O)

"Determine a para que a equação f(x) = 0 admita uma raiz, e uma só, "entre" -1 e 0." (l)

Começamos analisando o delta:

   (ll)

De (ll) temos que: 
Então, o delta só será maior ou igual à zero se a estiver entre as raízes de (ll).

Portanto, para delta ser maior ou igual à zero:    (lll)


Para qualquer valor de a que obedeça (lll), a função terá raízes reais.

Vide que para a função possuir raízes, precisamos que (lll) seja verdadeira, supondo então que (lll) é verdadeira, continuamos:

Determinaremos agora se a função possuí uma, e apenas uma raiz, ou se possuí duas raízes.

Se ela possuí uma, e somente uma raiz (raiz dupla), delta é igual à zero e para isso acontecer a tem que ser igual à zero ou igual à três quartos (por causa de (ll) e (lll)).

   em que a raiz é zero (0).


 em que a raiz é menos três (-3).


Como nenhum desses casos condiz com (l), temos:

   (lV)

Como delta não pode ser igual à zero, apenas maior que zero, a função tem que, necessariamente, ter duas raízes reais e distintas para que (l) seja verdadeira.
Provando assim que o enunciado está equivocado.

Boa noite, physics.

Muito obrigado por dedicar todo esse tempo a me ajudar! Peço que não se ofenda e pense que estou desprezando todo o seu esforço com o post que farei a seguir.

Pois bem, esse enunciado confunde um pouco. Após postar a questão aqui, digitei parte dela no google e fiz uma busca para verificar se alguém, em algum outro fórum/site, havia tido a mesma dúvida; eis que achei um link daqui do fórum mesmo: tópico 86285. O terceiro post desse tópico do link, do nosso colega Ashitaka, acredito que seja o que o enunciado verdadeiramente peça, "a questão pede que haja uma, e somente uma, raiz entre -1 e 0 e não que deva haver apenas 1 raiz dupla (delta = 0)".

Nosso colega jango feet resolve pelo teorema de Bolzano, um teorema do qual eu não tinha conhecimento (não diretamente) até ler a resolução dele. Após pesquisar, ler e entender do que trata esse teorema eu diria que concordo com a resposta dele "a < 0". Sendo assim, provavelmente o gabarito está errado.

Boa noite.

Eu interpretei que f(x) tinha que ter apenas uma raiz e que ela deveria estar no intervalo ]-1,0[ e demonstrei que isso não era possível.
Então aquele post não é a resposta da questão  


Teorema do valor intermediário:
"Seja f uma função real de variável real contínua no intervalo fechado [a b]. Se , então existe pelo menos um  tal que  "

Não podemos aplicar o teorema porque o intervalo é um intervalo aberto, ]-1,0[ e o teorema vale para intervalos fechados.

Se eu interpretei o enunciado erroneamente e na verdade temos o intervalo fechado [-1,0], prosseguimos: 

Quando você for usar esse teorema para provar que existe uma raiz no intervalo, você tem que, previamente, verificar duas coisas:

                    (l)

f(x) é contínua no intervalo    (ll) 

NOTA: A definição de uma função ser continua ou não entra no ramo de cálculo, mas, de maneira simplória, seria poder desenhar o gráfico da função no intervalo sem ter que tirar o lápis do papel, a função quadrática é uma função polinomial e portanto é continua.

O exercício não disse que  f(-1).f(0) < 0 (l) e portanto não podemos aplicar o teorema, a não ser que façamos a suposição que seja verdadeiro, aí podemos prosseguir.

Note que o colega jango feet afirmou no começo de sua resolução "se P(a).P(b) < 0"   

Se a suposição for verdadeira, está certo, se for falsa, está errado.
Não tem como saber porque não sabemos a.

Por favor pergunte à vontade, não ficarei nem um pouco ofendido.
Abraço.

Desculpe-me, deixei passar um erro no meu primeiro post.

            4a - 2 < 0 ⇔ a < 1/2 
            3a < 0 ⇔ a < 0
            a < 0                       se a concavidade for voltada para baixo


(note que a < 0 garante que a concavidade seja voltada para baixo)

Então há duas soluções, que dependem da concavidade, e não uma, já que é não é possível o gráfico de uma função quadrática ter duas concavidades.
S = {a > 1/2 se a concavidade for voltada para cima, a < 0 se a concavidade for voltada para baixo} 

O resto do post não se altera. Mais uma vez, sinto muito.


Abraço.

physics escreveu:Boa noite.

Eu interpretei que f(x) tinha que ter apenas uma raiz e que ela deveria estar no intervalo ]-1,0[ e demonstrei que isso não era possível.
Então aquele post não é a resposta da questão  


Teorema do valor intermediário:
"Seja f uma função real de variável real contínua no intervalo fechado [a b]. Se , então existe pelo menos um  tal que  "

Não podemos aplicar o teorema porque o intervalo é um intervalo aberto, ]-1,0[ e o teorema vale para intervalos fechados.

Se eu interpretei o enunciado erroneamente e na verdade temos o intervalo fechado [-1,0], prosseguimos: 

Quando você for usar esse teorema para provar que existe uma raiz no intervalo, você tem que, previamente, verificar duas coisas:

                    (l)

f(x) é contínua no intervalo    (ll) 

NOTA: A definição de uma função ser continua ou não entra no ramo de cálculo, mas, de maneira simplória, seria poder desenhar o gráfico da função no intervalo sem ter que tirar o lápis do papel, a função quadrática é uma função polinomial e portanto é continua.

O exercício não disse que  f(-1).f(0) < 0 (l) e portanto não podemos aplicar o teorema, a não ser que façamos a suposição que seja verdadeiro, aí podemos prosseguir.

Note que o colega jango feet afirmou no começo de sua resolução "se P(a).P(b) < 0"   

Se a suposição for verdadeira, está certo, se for falsa, está errado.
Não tem como saber porque não sabemos a.

Por favor pergunte à vontade, não ficarei nem um pouco ofendido.
Abraço.

Bom dia.

Compreendi.
A sugestão nesse exercício de prosseguir como no exercício anterior não deixa implícito que o intervalo é fechado e que f(-1)*f(0) < 0, ou seja, que pode-se aplicar o teorema de Bolzano/teorema do valor intermediário?

Você saberia me dizer se esse tipo de questão, envolvendo a posição de um número em relação às raízes de uma equação do 2º grau, cai em vestibulares como Unicamp, FUVEST ou UNESP (seja 1ª ou 2ª fase)? Apesar de eu estar aprendendo muito com as dúvidas, alguns exercícios desse assunto estão me tomando um tempo muito grande e estou pensando em deixá-los pra trás e, após ter mais "bagagem" matemática, voltar neles para, quem sabe, conseguir chegar ao mesmo gabarito do exercício (se não estiver errado, claro).

Valeu pela resposta! Abraços.

Olá.

Não porque qualquer informação importante é dada no enunciado e se o enunciado não diz, não podemos usar, a não ser que usamos como suposição, ou que provamos a afirmação usada (aí ela deixa de ser suposição).

Os vestibulares não cobram exercícios de demonstração/prova de propriedades, se cair um exercício parecido, com certeza não será de demonstração, mas sim de uma resolução de um problema usando a teoria necessária.
Dê uma olhada nas últimas edições dos vestibulares que lhe interessam e você terá uma ideia de como os conteúdos são cobrados.

Aumentar o número de ferramentas que você possuí antes de enfrentar exercícios como esse é uma boa opção, vide que uma das coisas mais lindas na matemática é que sempre existe mais de um jeito de chegar na resposta certa.

Abraço.

physics escreveu:Olá.

Não porque qualquer informação importante é dada no enunciado e se o enunciado não diz, não podemos usar, a não ser que usamos como suposição, ou que provamos a afirmação usada (aí ela deixa de ser suposição).

Os vestibulares não cobram exercícios de demonstração/prova de propriedades, se cair um exercício parecido, com certeza não será de demonstração, mas sim de uma resolução de um problema usando a teoria necessária.
Dê uma olhada nas últimas edições dos vestibulares que lhe interessam e você terá uma ideia de como os conteúdos são cobrados.

Aumentar o número de ferramentas que você possuí antes de enfrentar exercícios como esse é uma boa opção, vide que uma das coisas mais lindas na matemática é que sempre existe mais de um jeito de chegar na resposta certa.

Abraço.

Bom dia.

Ah, entendi.

Farei o que você sugeriu e buscarei ver o que é cobrado nas provas.

Obrigado.

Fazendo f(-1)*f(0) < 0 encontra-se o gabarito.
Embora 5/8 pertença 0 < a < 3/4, não serve como resposta.
Acredito que o gabarito esteja correto.

Por favor, que livro é esse de onde veio o problema?

Olá.

O primeiro post, por physics em Qui Nov 26 2015, 21:15 , não é uma solução, inclusive disse isso no segundo post:

"Eu interpretei que f(x) tinha que ter apenas uma raiz e que ela deveria estar no intervalo (-1,0) e demonstrei que isso não era possível.
Então aquele post não é a resposta da questão."  por physics em Sex Nov 27 2015, 20:45

Aquele post só demonstrou que o enunciado não podia ser verdadeiro caso a função apresentasse uma raiz dupla.

Aplicaremos o teorema do valor intermediário; como a função é quadrática (polinomial), ela é contínua e seguimos, queremos que tenha somente uma raiz no intervalo e para isso a imagem de -1 e 0 devem possuir sinais opostos, vide que se as duas raízes estiverem no intervalo, -1 e 0 terão imagens de mesmo sinal.


                                                           I                                        II
                                                                                      
f(-1) = (3a - 2)(-1)² + 2a(-1) + 3a ⇔ f(-1) = 3a - 2 - 2a + 3a ⇔ f(-1) = 4a - 2
f(0) = (3a - 2)(0)² + 2a(0) + 3a ⇔ f(0) = 3a

O problema é que não sabemos o sinal de "a" e estamos trabalhando com desigualdades, farei:

Caso A: a > 0
Caso B: a < 0

I-A: Se a > 0 , então f(0) > 0 ; e excluímos por contradição.

I-B: Se a < 0 , então f(-1) < 0 ; e excluímos por contradição.

II-A: 0 < a < 1/2

II-B: Se a < 0 , então f(0) < 0 ; e excluímos por contradição.

Parece que II-A funciona.

E respondendo sua pergunta, eu achei aqui um exercício praticamente igual, exercício 342 do Fundamentos de Matemática Elementar - volume 1 (Conjuntos; Funções) . 9ª edição - São Paulo - 2013

"Determine m para que a equação do 2º grau (3m-2)x² +2mx + 3m = 0 tenha uma única raiz entre -1 e 0."

Está aí o enunciado completo.

Gabarito do Fundamentos: 0 < m < 1/2

Então, concordo com o gabarito e não concordo com esta resolução https://pir2.forumeiros.com/t86285-funcao-quadratica , caso alguém queira discutir o problema, estarei aí