Função quadrática

Relembrando a primeira mensagem :

Boa noite.

(O tema da questão, mais especificamente, é, novamente, "posição de um número em relação às raízes de uma equação do 2º grau", mas como não é possível esse título para o tópico então não o coloquei)

Considere a função quadrática definida por: f(x) = (3a - 2)x² + 2ax + 3a. Determine a para que a equação f(x) = 0 admita uma raiz, e uma só, "entre" -1 e 0. (Sugestão: exercício anterior)
Obs.: a sugestão dada é um exercício que eu já postei aqui e me ajudaram a resolver. Aqui está o link.

Gabarito: 0 < a < 1/2

Tentei resolver da seguinte maneira:

f(-1) = (3a - 2)(-1)² + 2a(-1) + 3a ⇔ f(-1) = 3a - 2 - 2a + 3a ⇔ f(-1) = 4a - 2
f(0) = (3a - 2)(0)² + 2a(0) + 3a ⇔ f(0) = 3a

Daí fiz f(-1) e f(0) igual a zero: 
4a - 2 = 0 ⇔ a = 1/2
3a = 0 ⇔ a = 0 

Feito isso, considerei a questão como resolvida, mas deixei um sinal de interrogação. Pois bem, voltei nela agora e gostaria de saber se essa minha resolução está correta e se há uma maneira de resolver "direto" e obter como resultado 0 < a < 1/2. Eu olhei a questão anterior e saquei que o que o exercício pede é meio que o contrário dela. Tentei imaginar uma resolução baseada no exercício anterior, voltei na teoria e nos exercícios resolvidos, mas não tive nenhum sucesso.

Physics, eu ainda não entendi porque está complicando o problema separando em casos. É só usar o teorema do post anterior que sai direto (o qual já verifiquei a veracidade aqui também): https://pir2.forumeiros.com/t101442-funcao-quadratica

Sendo o teorema de Bolzano já conhecido, particularmente no caso da função quadrática temos que f(a)f(b) < 0 garante que necessariamente uma raiz, e apenas uma, estará no intervalo determinado.

No caso da sua interpretação inicial, se quiséssemos provar que não tem como ter uma raiz dupla entre 0 e -1, bastaria fazer:
f(x) = (3a - 2)x² + 2ax + 3a

4a² - 4(3a)(3a-2) = 0 ----> a = 0 ou a = 3/4.

Se a = 0 ---> f(x) = -2x² ---> raiz = 0 (é uma resposta válida se o 'entre' do enunciado for inclusivo).

Se a = 3/4 ---> f(x) = x²/4 + 3x/2 + 9/4 = 0 ---> (x + 3)²/4 = 0 ---> x = -3 não serve.

Olá.

Sinto muito colega, mas tenho traumas de "não ter considerado todos os casos possíveis" e acabo com resoluções extensas...

Existem interpretações sobre raízes duplas, se considerado a multiplicidade, raiz dupla são sim duas raízes, mesmo que iguais; e eu queria verificar, no primeiro post, se o caso acontecia e era usada a interpretação de raiz dupla ser uma única raiz. O que inclusive, se tivesse acontecido, impediria a aplicação do teorema do valor intermediário (em seu caso particular; Bolzano) porque a função não cruzaria o eixo das abscissas; de qualquer maneira, serviu para enriquecer o tópico.

Não há nada para sentir muito, tudo tranquilo.