Função quadrática.

por Shini10 Qua 08 Abr 2015, 09:31

Considere a função quadrática definida por :
f(x) = (3a-2)x^2+2ax+3a.
Determine a para que a equação f(x)=0 admita uma raiz e uma só "entre" -1 e 0.

por Armando Vieira Qua 08 Abr 2015, 17:38

Para ter somente uma raiz, o delta deve ser zero
∆ = 0
(3a-2)x²+2ax+3a = 0
∆ = b² - 4ac
∆ = (2a)² - 4(3a-2).3a
∆ = 4a² - 4(9a² - 6a)
∆ = 4a² - 36a² + 24a
∆ = 24a - 34a²
-34a² + 24a = 0
a (-34a + 24) = 0
a = 0 (Não serve, pois a função é do 2º grau) ou
-34a + 24 = 0
34a = 24
a = 24/34
a = 12/17
Conferindo a raiz...
(3a-2)x²+2ax+3a
x = (-b±√∆)/2a
x = -2a / 2.(3a - 2)
x = -2a/6a-4
x = (-2.12/17)/(6.12/17 - 4)
x = -24/17. 4/17
x = -96/289
x~ -0,33 (entre -1 e 0)

por **Ashitaka** Qua 08 Abr 2015, 19:42

Armando, a questão pede que haja uma, e somente uma, raiz entre -1 e 0 e não que deva haver apenas 1 raiz dupla (delta = 0).

por **jango feet** Qua 08 Abr 2015, 19:54

Use Bolzano:

Seja um intervalo [a,b]:
se P(a).P(b)<0
então há um número ímpar de raízes compreendido neste intervalo.

Como é entre -1 e 0:

$f(-1)=3a-2-2a+3a=4a-2$

$f(0)=3a$

Logo:
$12a^2-6a<0 \Rightarrow 6a(2a-1)<0\Rightarrow a<0\:\:\: ou\:\:\: a <1/2.$

Fazendo a intersecção dos possíveis valores de a vem que:
$\boxed {a<0}$