Termodinâmica

por 2k3d Dom 15 Nov 2015, 15:13

Um motor elétrico de 2 kW tem em seu eixo uma hélice que pode agitar um gás ideal cercado por um embolo de massa desprezível unido a uma mola de rigidez de 100 kN/m que no início não está deformada. Durante quanto tempo deve funcionar o motor para que o embolo se eleve lentamente 20 cm? Considere o cilindro e o embolo isolados termicamente, além disso, o gás aumentou a sua energia interna em 38 kJ.

Spoiler:

por **Thálisson C** Dom 15 Nov 2015, 17:47

Energia que entra no sistema pelo trabalho do motor:

$\\\\\mathrm{P = \frac{W_{Motor}}{\Delta t} } \;\; \Rightarrow \;\; \mathrm{W_{Motor} = P \cdot \Delta t}$

O trabalho total é o trabalho que entra no sistema pela ação do motor, menos o trabalho que sai do sistema pela ação do próprio gás:

$\\\\\mathrm{W_{Total} = W_{Motor} - W_{g\'{a}s} \;\; }\\\\$

Para determinarmos o trabalho total, falta ainda determinar o trabalho feito pelo gás, e para isso temos que saber a força que ele exerce sobre o êmbolo:

Termodinâmica W71u15

$\\\\ \mathrm{F_{g\'{a}s} = F_{atm} + F_{el}}$

Voltando ao trabalho do gás:

$\\\\ \mathrm{ W_{g\'{a}s} = (F_{atm} + F_{el})\cdot d \;\; \Rightarrow \; \mathrm{W_{g\'{a}s}} = (P_{atm} \cdot A + kd \cdot A) \cdot d }$

Trabalho total:

$\\\\ \mathrm{ W_{Total} = P \cdot \Delta t\; - \; (P_{atm} \cdot A + kd \cdot A) \cdot d }$

Da primeira lei da termodinâmica:

$\\\\ \mathrm{\Delta U = \underbrace{Q}_{0} + \;\;W \;\; \Rightarrow \;\; \Delta U = W_{Total}}$

Então:

$\\\\ \mathrm{\Delta U = P \cdot \Delta t - (P_{atm} \cdot A - kd \cdot A)d} \;\; \therefore \\\\ \boxed{\mathrm{\Delta t = \frac{\Delta U + (P_{atm} \cdot A - kd \cdot A)d}{P}}}$

Substituindo os valores e considerando Patm = 10^5 Pa :

$\\\\ \mathrm{\Delta t = 25\; s} \;\;$

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