Termodinâmica

Dentro de um cilindro fechado, retira-se todo o ar, isto é, um ambiente com vácuo é gerado. Nessa situação, o êmbolo que está dentro do cilindro encontra-se em equilíbrio junto ao fundo. Abaixo do êmbolo, injeta-se certa quantidade de gás, de modo que o equilibrio do pistão passa a ocorrer a uma altura h=5 cm de base. qual altura atingirá o êmbolo se a temperatura do gás for quadriplicada?

R: 10cm.

Olá, Felipe!

Olha, o enunciado desse exercício é um pouco mal escrito. Ele nos fornece a gravidade, mas não menciona se o êmbolo tem massa. A princípio, tentei equacionar considerando o peso do êmbolo, mas não consegui encontrar nada dessa forma. Desconsiderando a massa do êmbolo, consegui algo assim:

Pela Lei Geral dos Gases: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂. Considerando que V = Ah, como no exercício a área do êmbolo não muda, tem-se: p₁Ah₁/T₁ = p₂Ah₂/T₂ ⇒ p₁h₁/T₁ = p₂h₂/T₂. O exercício também menciona que T₂ = 4T₁, de modo que: 4p₁h₁ = p₂h₂ (I).

Bom, agora vamos buscar uma relação com as forças atuantes no êmbolo. Vê-se que atuam: força elástica (F_el) e força do gás (F). Ambas se equilibram tanto no início quanto no final. Pode-se escrever, com isso, que: 

i) início: F_el = F₁. Como p₁ = F₁/A ⇒ F₁ = p₁A, vem: F_el = p₁A ⇒ kh₁ = p₁A ⇒ p₁ = kh₁/A (II)
ii) final: F'_el = F₂ ⇒ F'_el = p₂A ⇒ kh₂ = p₂A ⇒ p₂ = kh₂/A (III)

Fazendo (II) e (III) → (I): 4kh²₁/A = kh²₂/A ⇒ h₂ = √(4h²₁) ⇒ h₂ = 2h₁. Como h₁ = 5cm, h₂ = 10cm.


Acredito que seja algo assim. O fato de desconsiderar o peso do êmbolo não me soa muito interessante, justamente por isso não consigo ter plena certeza se a resolução é de fato essa. Se alguém puder confirmar (ou "desconfirmar"), seria de grande valia.

No mais, bons estudos!