[Resolvido](IFAL - 2010) Dilatação do Pêndulo Simples

Relembrando a primeira mensagem :

O período P de um relógio de pêndulo é dado por , onde L é o seu comprimento e g é a aceleração da gravidade local. Observa-se que este relógio funciona de forma correta a 20°C. Porém quando a temperatura aumenta, o período do relógio se altera. Qual das opções abaixo mostra a equação que representa a variação do período P do relógio em função do coeficiente de dilatação linear  do material que constitui o pêndulo, do comprimento L do relógio a 20 °C, da aceleração da gravidade g e da variação de temperatura ∆T?




RESPOSTA:

Spoiler:

Essa desigualdade diz que (1+x)^n ≥ 1 + n.x para todo x > -1 e 'n' um número inteiro não negativo.

Demonstração por indução finita:

1)Tem-se (1 + x)^1 = 1 + x ≥ 1 + x

2)Por hipótese, tem-se: (1 + x)^n ≥ 1 + n.x
Multiplicando os dois membros por (1 + x) (que é, sempre, positivo, pois
x > -1), vem:
(1 + x)^(n+1) ≥ (1 + n.x).(1 + x) = n.x² + (n+1).x +1
Novamente, por x > -1, vem que o termo n.x² é positivo e então, se
(1 + x)^(n+1) ≥ n.x² + (n+1).x +1 então (1 +x)^(n+1) também é maior que
(n+1).x + 1 que, por sua vez, é maior ou igual a n.x² + (n+1).x +1.
Assim, em notação matemática:
(1 + x)^(n+1) ≥ 1 + (n + 1).x

"Supondo que você tenha uma longa fila de dominós.
O primeiro dominó cai.
Sempre que um dominó cair, seu próximo vizinho também cairá.
Então você pode concluir que todos os dominós cairão."

Quando 'x' é bem pequeno é quase intuitivo que (1 + x)^n ~ 1 + n.x.

Não acho intuitivo que (1 + x)^n ~ 1 + n.x
Eu entendi pela desigualdade, mas, sem ela, não seria intuitivo
Valeu aí

Observe o desenvolvimento do de Newton para (1 + x)^n:
(1 + x)^n = C(0,n).(x)^0 + C(1,n).(x)^1 + C(2,n).(x)^2 +...+ C(n,n).(x)^n
<=> (1 + x)^n = 1 + n.x + [n.(n-1).(x)^2]/2 +...+ x^n

Perceba que, para x bem próximo de 0, tem-se que (x)^k, para 'k' cada vez maior, é tão próximo de zero quanto maior for 'k'.
Sendo assim, a soma:
S = [n.(n-1).(x)^2]/2 +...+ x^n pode ser desprezada por ser muito pequena.
Veja por exemplo, x = 0,001.
x^2 já é absurdamente menor (x^2 = 0,000001).
x^3, então...
Por isso eu disse que é meio intuitivo que (1 + x)^n ~ 1 + n.x para x bem pequeno.