Movimento Circular

por gabrielnogueira Dom 01 Mar 2015, 14:56

Fiquei em dúvida nessa questão, mas gostaria que resolvessem seu usar derivadas, por favor, pois não sei como usá-las.

Uma pequena fonte de luz (laser) , situada a uma distância D de um paredão P,gira em torno de um eixo E, com velocidade angular constante $Movimento Circular Mimetex$ , emitindo horizontalmente um estreito feixe de luz que varre o paredão. A "mancha" dessa luz no paredão move-se em linha reta ao longo dele, com velocidade instantânea de módulo V. A figura representa o evento visto de cima.

Movimento Circular File

Neste evento, expresse V em [ltr]função[/ltr] de $Movimento Circular Mimetex$ , D e do ângulo Movimento Circular V25ublRUVAAAAAAAACH5BAEAAAAALAAAAAAIAA0AAAMmCBpmoYCJYaARqgKhgb5WFmGVQDRGQXiD8BiDB8n09i1O1uY4ryQAOwAAAAAAAAAAAA==

Movimento Circular V25ublRUVAAAAAAAACH5BAEAAAAALAAAAAAIAA0AAAMmCBpmoYCJYaARqgKhgb5WFmGVQDRGQXiD8BiDB8n09i1O1uY4ryQAOwAAAAAAAAAAAA==

indicado na figura.

por **Carlos Adir** Dom 01 Mar 2015, 16:45

Não precisa de derivada, acho. Mas precisa de algo parecido com limite.

Temos na imagem abaixo, um quando está em um ângulo θ, e outro quando se passou t segundos depois que chegou no ângulo θ.
Movimento Circular I4eiKAV

A velocidade média durante este tempo, será:
$v = \dfrac{b}{t}$
Mas temos que:
$\\ tan \ \theta = \dfrac{a}{d}; \ \ \ \ tan \ \theta + \omega t = \dfrac{a+b}{d}$
Por relação trigonométricas sabemos que:
$tan \ \theta + \omega t=\dfrac{tan \ \theta + tan \ \omega t}{1 - tan \ \theta \cdot tan \ \omega t}$
Então temos:
$a = d \cdot tan \ \theta; \ \ \ \ \dfrac{a+b}{d}=\dfrac{tan \ \theta + tan \ \omega t}{1 - tan \ \theta \cdot tan \ \omega t}$

Juntando tudo:
$\\ \dfrac{d \cdot tan \ \theta +b}{d}= \dfrac{ tan \ \theta + tan \ \omega t}{ 1 - tan \ \theta \cdot tan \ \omega t} \\ b = \dfrac{ d \left( tan \ \theta + tan \ \omega t \right )}{1-tan \ \theta \cdot tan \ \omega t} - d \cdot tan \ \theta \\ b = \dfrac{d \left(tan \ \theta + tan \ \omega t - tan \ \theta + tan^2 \ \theta \cdot tan \ \omega t \right )}{1 - tan \ \theta \cdot tan \ \omega t} \\ b= \dfrac{d \cdot tan \ \omega t \left(tan^2 \ \theta+1 \right )}{1-tan \ \theta\cdot tan \ \omega t}=\dfrac{d \cdot tan \ \omega t \cdot sec^2 \ \theta}{1 - tan \ \theta \cdot tan \ \omega t}$

$v = \dfrac{b}{t}=\dfrac{\left(\dfrac{d \cdot tan \ \omega t \cdot sec^2 \ \theta}{1 - tan \ \theta \cdot tan \ \omega t} \right )}{t}=\dfrac{d \cdot tan \ \omega t \cdot sec^2 \ \theta}{t \left(1-tan \ \theta \cdot tan \ \omega t \right )}$

Agora que entra o limite:
Para termos a velocidade instantânea, o tempo t deve ser bem próximo de 0, então temos:
$v_{instantanea} = \lim_{t\rightarrow 0} \left(\dfrac{d \cdot tan \ \omega t \cdot sec^2 \ \theta}{t \left(1-tan \ \theta \cdot tan \ \omega t \right )} \right ) = d \omega \cdot sec^2 \ \theta$

E pra resolver este limite tive que aplicar L'Hospital, ou seja, derivadas.
Vou tentar resolver este limite sem derivadas.

por gabrielnogueira Dom 01 Mar 2015, 17:23

Carlos, você que tem mais experiências, é muito difícil para aprender esses assuntos (limites e derivadas) através de vídeo aulas?

por **Carlos Adir** Dom 01 Mar 2015, 18:14

Eu não tenho muita experiência(se eu derivei 20 funções já é muito).
Eu sei o básico, pra que serve, quando posso utilizar e que resultado eu vou ter.
Não é muito dificil, se ir com calma, sem pressa e atropelar os assuntos, e resolvendo todas as questões de capitulo, fica bem tranquilo.
Assista as video aulas pra pegar noção sobre o que é, e pegue o livro, leia a teoria do livro depois da video aula e faça os exercícios.
Tem vários tópicos no fórum falando sobre, dê uma olhada nestes:
Link 1
Link 2

E se der tempo, veja este vídeo do youtube:
01 - O Universo Mecânico
É muito bom pra entender sobre o cálculo também.

por **Euclides** Dom 01 Mar 2015, 18:28

Para entender a solução abaixo, considere

1- d\theta, dL e dt como frações muito pequenas do ângulo, do comprimento e do tempo. Um conceito bem parecido com o que seriam \Delta\theta,\;\Delta L\;e\;\Delta t

2- nessa consideração a notação dv corresponde a uma velocidade instantânea

3- todos os conceitos infinitesimais poderiam ser tratados como intervalos tipo ∆t se o que tivéssemos de calcular fosse a velocidade média, v=∆L/∆t.

Movimento Circular 100000