soma de cubos
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soma de cubos
por Emanuel Dias Qua 22 Jan 2020, 14:02
Resolver a equação no intervalo [0,2pi]
\\sen^3x+cos^3x=1\\\\(senx+cosx)(1-senxcosx)=1
O que fazer agora?
Gabarito: 0,pi/2 e 2pi
O que fazer agora?
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Re: soma de cubos
por SnoopLy Qua 22 Jan 2020, 14:38
Seja t = tan(x/2)
sen(x) = 2t/(1 + t²)
cos(x) = (1 - t²)/(1+t²)
Esse é um método, deixar tudo em função da tangente
sen(x) = 2t/(1 + t²)
cos(x) = (1 - t²)/(1+t²)
Esse é um método, deixar tudo em função da tangente
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Re: soma de cubos
por Emanuel Dias Qua 22 Jan 2020, 14:40
SnoopLy escreveu:Seja t = tan(x/2)
sen(x) = 2t/(1 + t²)
cos(x) = (1 - t²)/(1+t²)
Esse é um método, deixar tudo em função da tangente
Ah sim, muito obrigado.
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Re: soma de cubos
por SnoopLy Qua 22 Jan 2020, 22:31
Um outro método é perceber que
( sen x + cos x )² = 1 + 2 * sen 2x = y²
Então:
sen 2x = ( y² - 1 )/2
Logo,
y * ( 1 - ( y² - 1 )/2 ) = 1
Daí é só continuar
( sen x + cos x )² = 1 + 2 * sen 2x = y²
Então:
sen 2x = ( y² - 1 )/2
Logo,
y * ( 1 - ( y² - 1 )/2 ) = 1
Daí é só continuar
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Re: soma de cubos
por Emanuel Dias Qua 22 Jan 2020, 23:49
SnoopLy escreveu:Um outro método é perceber que
( sen x + cos x )² = 1 + 2 * sen 2x = y²
Então:
sen 2x = ( y² - 1 )/2
Logo,
y * ( 1 - ( y² - 1 )/2 ) = 1
Daí é só continuar
Esse é bem mais rápido. Eu não tenho decorado sen e cos em função da tg teria que deduzir todas para resolver.
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Re: soma de cubos
por SnoopLy Qui 23 Jan 2020, 00:28
Teve um erro na última linha, mas acho q dá pra entender, na verdade seria
y * ( 1 - sen(2x)/2 ) = 1
y * ( 1 - ( y² - 1 )/4 ) = 1
y * ( 1 - sen(2x)/2 ) = 1
y * ( 1 - ( y² - 1 )/4 ) = 1
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Re: soma de cubos
por SnoopLy Qui 23 Jan 2020, 00:31
Emanuel Dias escreveu:
Esse é bem mais rápido. Eu não tenho decorado sen e cos em função da tg teria que deduzir todas para resolver.
sen( x ) = 2sen( x/2 )cos( x ) * cos( x/2 )/cos( x/2 )
sen( x ) = 2tg( x/2 )cos²( x/2 )
cos²( x/2 ) = 1/sec²( x/2 ), mas sec²( x/2 ) = 1 + tg²( x/2 )
tg( x/2 ) = t
Então sen( x ) = 2t/( 1 + t² )
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Re: soma de cubos
por Elcioschin Qui 23 Jan 2020, 10:55
Um outro método para resolver:
sen³x + cos³x = 1
(senx + cosx).(1 - senx.cosx) = 1
Como senx e cosx tem domínio[-1, 1] os valores de senx e cosx NÃO poderão ser negativos (devido ao expoente ímpar 3).
Como consequência, existem três possibilidades:
1) x é um ângulo do 1º quadrante ---> Impossível já que os valores de senx e cosx devem ser racionais para resultar no 2º membro igual a 1
2) senx = 0 e cosx = 1 ---> x = 0, x = 2.pi
3) senx = 1 e cosx = 0 ---> x = pi/2
sen³x + cos³x = 1
(senx + cosx).(1 - senx.cosx) = 1
Como senx e cosx tem domínio[-1, 1] os valores de senx e cosx NÃO poderão ser negativos (devido ao expoente ímpar 3).
Como consequência, existem três possibilidades:
1) x é um ângulo do 1º quadrante ---> Impossível já que os valores de senx e cosx devem ser racionais para resultar no 2º membro igual a 1
2) senx = 0 e cosx = 1 ---> x = 0, x = 2.pi
3) senx = 1 e cosx = 0 ---> x = pi/2
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