Soma dos cubos das raizes de p(x)

Calcule a soma dos cubos das raízes a,b e c de



Tentei desenvolver (a+b+c)^3 e tentar substituir ou cancelar algo através das relações de Girard mas não fui muito longe.Também não consegui achar a raiz real desse polinômio.

Suponho que você tenha esquecido algo ----> x³ - 2x - 20 = 0

Relações de Girard:

a + b + c = 0 (não existe o termo em x²)

ab + ac + bc = - 2

abc = 20

(a + b + c)³ = [(a + b) + c]³ = (a + b)³ + 3*(a + b)²*c + 3*(a + b)*c² + c³

(a + b + c)³ = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) + 3*(a² + 2ab + b²)*c + 3*(a + b)*c²

(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3a²c + 3ab² + 3b²c + 3ac² + 3bc² + 6abc

Agora vem a "sacada": somar e subtrair 3abc separando em três partes

(a + b + c)³ = (a³ + b³ + c³) + (3a²b + 3a²c + 3abc) + (3ab² + 3b²c + 3abc) + (3ac² + 3bc² + 3abc) - 3abc

(a + b + c)³ = (a³ + b³ + c³) + 3a*(ab + ac + bc) + 3b*(ab + bc + ac) + 3c*(ac + bc + ab) - 3abc

Colocando (ab + ac + bc) em evidência no 2º membro:

(a + b + c)³ = (a³ + b³ + c³) + 3*(a + b + c)*(ab + ac + bc) - 3abc

Substituindo pelos valores de Girard

0³ = (a³ + b³ + c³) + 3*0*(-2) - 3*(20)

0 = (a³ + b³ + c³) - 60

(a³ + b³ + c³) = 60 ---> Eureka!

Élcio,
Achei essa questão por acaso e acho que tem uma forma mais fácil de resolver.


Sejam a,b,c as raízes da equação x³ - 2x - 20 = 0,
Sabemos que:

a³ - 2a - 20 = 0
b³ - 2b - 20 = 0
c³ - 2c - 20 = 0

Isolando a³,b³ e c³:

a³ = 2a + 20
b³ = 2b + 20
c³ = 2c + 20


Somando as três equações acima, podemos achar o valor que queremos:

a³ + b³ + c³ = 2(a + b + c) + 60 = 2.0 + 60 = 60

Gostei dessa manha luiseduardo. Muito boa. :tiv: