Operações fundamentais

por 2k3d Qua 12 Jun 2013, 18:17

A divisão do inteiro positivo N por 5 tem quociente q1 e resto 1 . A divisão de 4q1 por 5 tem quociente q2 e resto 1 . A divisão de 4q2 por 5 tem quociente q3 e resto 1 . Finalmente , dividindo 4q3 por 5 , o quociente é q4 e o resto é 1 . Sabendo que N pertence ao intervalo aberto (621 , 1871) , a soma dos algarismos de N é :

a) 18
b) 16
c) 15
d) 13
e) 12

Spoiler:

por Ademir Sott Sáb 15 Jun 2013, 21:19

Pelo enunciado temos que :
N = 5q₁+ 1 ................→(I)
4q₁ = 5q₂ + 1 ........... → (II)
4q₂ = 5q₃ + 1 ........... → (III)
4q₃ = 5q₄ + 1 ........... → (IV)
Somando 4 em todas as equações :
N + 4 = 5.(q₁+ 1) ............ → (I)’
4.(q₁+ 1) = 5.(q₂+ 1) ...... → (II)’
4.(q₂+ 1) = 5.(q₃+ 1) ...... → (III)’
4.(q₃+ 1) = 5.(q₄+ 1) ...... → (IV)’

Multiplicando membro a membro as equações :
(4)³ . ( N + 4 ) = (5)⁴. ( q₄ + 1 )
Como m.d.c. (5,4 ) = 1, N+ 4 deve ser múltiplo de (5)⁴.
Logo existe um número inteiro k, tal que:
N + 4 = (5)⁴. k
N = (5)⁴. k – 4

Como 621 < N < 1871, para k = 2, segue que N = 1246.
Portanto a soma dos algarismos valerá 13.
Alternativa D

Espero ter ajudado e até mais