Soma de cubos (equação)

por Andre Ampère Sáb 17 Mar 2018, 11:09

Resolva a seguinte equação para x ∈ ℝ:
e) sen³x + cos³x = 1

Gabarito:

por **Elcioschin** Sáb 17 Mar 2018, 12:13

sen³x + cos³x = 1

sen³x + [√(1 - sen²x)]³ = 1 ---> sen³x + [(1 - sen²x)]^3/2 = 1 ---> [(1 - sen²x)]^3/2= 1 - sen³x

Elevando ao quadrado: [(1 - sen²x)]³ = (1 - sen³x)² --->

1 - 3.sen²x + 3.sen⁴x - sen⁶x = 1 - 2.sen³x + sen⁶x ---> 2.sen⁶x - 3.sen⁴x - 2.sen³x + 3.sen²x = 0

sen²x.(2.sen⁴x - 3.sen²x - 2.senx + 3) = 0 ---> Duas possibilidades

a) sen²x = 0 ---> x = k.pi (difere do gabarito, que está errado)

b) 2.sen⁴x - 3.sen²x - 2.senx + 3 = 0 ---> Usando o Teorema das Raízes Racionais:

Prováveis raízes racionais: +1, + 3, -1, -3 --> senx = -3 e senx = 3 é impossível

Testando senx = 1 ---> 2 - 3 - 2 + 3 = 0 ---> senx = 1 é raiz é raiz dupla ---> x = pi/2 + 2.k.pi

Testando senx = -1 vê-se que não é raiz

Divida o polinômio do 4º grau por (x - 1)² e obtenha um quociente do 2º grau. Acheas outras duas raízes.

por Andre Ampère Sáb 17 Mar 2018, 15:51

Elcioschin escreveu:

Elevando ao quadrado: [(1 - sen²x)]³ = (1 - sen³x)² --->

1 - 3.sen³x + 3.sen⁶x - sen⁹x = 1 - 2.sen³x + sen⁶x ---> sen⁹x - 2.sen⁶x + sen³x = 0

Não entendi como esses termos em vermelho surgiram elcio

por Andre Ampère Sáb 17 Mar 2018, 16:05

Corrigindo a partir daí, daria:
$1-sen^{6}x-3sen^{2}x+3sen^{4}x=1-2sen^{3}x+sen^{6}x\Rightarrow$
$\Rightarrow sen^{6}x+sen^{3}x-3sen^{4}x=0 \Rightarrow$
$\Rightarrow sen^{3}x(sen^{3}x-3senx+1)=0$
Mas daqui eu não sei mais pra onde ir, já tentei não deu em nada. Mas isso supondo que você errou ao elevar ao cubo ou estou me confundindo