Volume de um Cone

por Camel Qui 28 Set 2017, 15:00

Determine o volume de um cone de revolução cuja area lateral é 60(pi) cm^2 sendo 4,8cm a distância do centro da base à geratriz do cone.

Gabarito 96 (pi) cm^3

Desde ja obrigado a quem me responder

por **Elcioschin** Qui 28 Set 2017, 23:11

Eis o caminho:

Desenhe um cone com vértice V é centro da base O. Seja AOB um diâmetro da base

Trace OV = h e sejam g a geratriz (AV = BV = g) e OA = OB = r
Trace por O segmento de reta reta perpendicular a BV, no ponto E --> OE = 4,8

OÊB = OÊV = 90º

Aplicando Pitágoras:

No triângulo BEO ---> BE² = OB² - OE² ---> BE = √(r² - 4,8 )²

No triângulo VEO ---> VE² = OV² - OE² ---> VE = √(h² - 4,8 )²

BE + VE = g

h.r = OE.g ---> h.r = 4,8.g

Sl = 60.pi ---> pi.r.g = 60.pi ---> r.g = 60

Tente agora completar

por Camel Sáb 30 Set 2017, 09:16

Muito obrigado mestre Elcio

por lookez Sáb 31 Out 2020, 08:27

Elcioschin escreveu:Trace por A uma reta perpendicular BV, no ponto E ---> OE = 4,8

OÊB = OÊV = 90º

Estou fazendo o desenho e não compreendi essa parte. Tracei a reta AE ⊥ BV, mas OE não é 4.8 e sim o raio r da base do cone (metade da hipotenusa AB=2r), "OÊB = OÊV = 90º" é falso, e 4.8 seria a reta OP ⊥ BV que é a distância do centro da base à uma das geratrizes. Onde estou errando?

por **Elcioschin** Sáb 31 Out 2020, 10:15

Eu digitei errado uma letra na minha solução. O correto é:

"Trace por O um segmento de reta perpendicular a BV, no ponto E"

Neste caso NÃO existe o segmento AE traçada por A como no seu desenho e o seu ponto P corresponde ao ponto E da minha solução. Vou editar. Obrigado pelo alerta!

por lookez Sáb 31 Out 2020, 15:54

Obrigado mestre, consertei e consegui terminar.

Relações métricas no triângulo OVB:
[latex]hr=4,8g[/latex]

Dado do problema:
[latex]rg = 60 \rightarrow g =\frac{60}{r}[/latex]

Substituindo:
[latex]hr = 4,8 \cdot \frac{60}{r} \rightarrow r^2=\frac{288}{h} [/latex]

Usando esse resultado no volume:
[latex]V_{cone}=\frac{\pi r^2h}{3}=\frac{\pi \cdot\frac{288}{\cancel{h}}\cdot\cancel{h}}{3}=\boxed{96\pi}[/latex]