Volume do cone

Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio da base R e altura h, está completamente
cheio com água e óleo. Sabe-se que a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente
na metade da altura do cone. O recipiente dispõe de uma torneira que permite escoar os
líquidos de seu interior, conforme indicado na figura. Se essa torneira for aberta, exatamente até
o instante em que toda água e nenhum óleo escoar, a altura do nível do óleo, medida a partir do
vértice será :

A figura é somente um cone de cabeça para baixo, sendo a parte de cima óleo a e a parte debaixo agua.


Grato desde já !

Eu encontrei uma equação que, se resolvida, dará um valor para altura do nível do óleo em função da altura do cone.

A equação é essa:




Onde H é a altura procurada.

Obs: Deu bastante trabalho para chegar nessa equação (e eu não sei se o que fiz está certo), por isso vou colocar a minha extensa resolução mais tarde quando eu levantar.

Peço desculpas por não ter colocado a resolução na hora que eu falei que ia colocar.

Esse problema é bem interessante, mas eu não sei se o que eu fiz está certo, pois a resposta ficou apenas em função da altura do cone.

Resolução:

Inicialmente, tem-se a seguinte situação:




Quando toda a água for escoada (mas nenhum óleo) o óleo ocupara um volume igual ao de um cone circular reto de altura H, tal que:
h/2 < H < h .





Perceba, também, que o volume do óleo é constante, pois nenhuma quantidade de óleo é escoada.
É justamente com essa constância de volume do óleo que eu trabalharei aqui (vou calcular o volume de óleo na situação inicial (em função de h, R e r) , calcular o volume na situação final (em função de H, e R') e depois igualar as duas expressões).

Vamos ao trabalho.

Primeiro de tudo, vou mostrar um teorema usado para calcular volume de sólidos de revolução.

Teorema de Pappus-Guldin relativo ao volume dos sólidos de revolução: "O volume do sólido de revolução gerado quando uma superfície plana de área A e ordenada de centróide y¬ gira de um ângulo θ (em radianos) em torno do eixo OX é:
V = θ. y¬.A".





Agora vou deduzir uma expressão para o cálculo do volume de um cone circular reto a partir do teorema de Pappus-Guldin enunciado acima.

Sabe-se que um cone circular reto (ao qual darei altura h e raio da base R) pode ser obtido pela rotação do triângulo OAB mostrado abaixo de 2.pi rad em torno do eixo OY da figura:




Assim, do teorema de Pappus-Guldin, tem-se que o volume do cone é dado por:
V = 2.pi.x¬.A , onde A é a área da geratriz.

Mas x¬ para triângulos é dado por R/3, assim: V = 2.pi.(R/3).(R.h/2) <=> V = (pi.R².h)/3

Está demonstrada, então uma relação que calcula o volume de um cone circular reto genérico de altura h e raio da base R.

Agora, vou deduzir uma expressão para o cálculo do volume de um tronco de cone circular reto a partir do
teorema de Pappus-Guldin.

Sabe-se que um tronco de cone circular reto (ao qual darei altura h e raio da base maior R e raio da base menor r) pode ser obtido pela rotação do trapézio mostrado abaixo de 2.pi rad em torno do eixo OY da figura:




Pelo teorema de Pappus-Guldin, tem-se que:
V = 2.pi.x¬.A, onde A é a área da geratriz.

Mas x¬ para trapézios é dado por (R² + r.R + r²)/3.(R + r), assim:
V = 2.pi.[ (R² + r.R + r²)/3.(R + r)].[((R + r).h)/2] <=> V = [pi.h.(R² + r.R + r²)]/3

Está demonstrada, então uma relação que calcula o volume de um tronco de cone circular reto genérico de altura h, raio da base maior R e raio da base menor r.

Terminadas as demonstrações, vamos à ideia principal da minha resolução.

Perceba que o volume de óleo no início é igual ao volume do tronco de cone circular reto de altura (h/2), raio da base maior R e raio da base menor r.
Assim, seu volume é: V(óleo)i = [pi.h.(R² + r.R + r²)]/6 ----> (eq1)

Do mesmo modo, o volume de água inicialmente é dado por:
V(água) = (pi.r².h)/6 ----> (eq2)

O volume do cone todo é dado por: V(total) = (pi.R².h)/3 ---> (eq3)

Mas o volume do cone todo também pode ser dado por V(óleo)i + V(água).
Assim: V(total) = V(óleo)i + V(água) =>(eq1), (eq2) e (eq3): (pi.R².h)/3 = (pi.r².h)/6 + [pi.h.(R² + r.R + r²)]/6 <=>
<=> 2.r² + r.R - R² = 0 <=> r = R/2 ----> (eq4)

Substituindo (eq4) em (eq1), vem:
V(óleo)i = [pi.h.(R² + r.R + r²)]/6 => V(óleo)i = (7/8).(pi.R².h/3) ---> (eq5)

Tem-se que o volume de óleo na situação final pode ser dado por:
V(óleo) = (pi.R'².H)/3 ---> (eq6)

Da constância do volume, vem que:
V(óleo)i = V(óleo) =>(eq5) e (eq6): (7/8).(pi.R².h/3) = (pi.R'².H)/3 <=> H = (7.R².h)/(8.R'²) ---> (eq7)

Perceba, agora, que o volume do tronco de cone vazio na situação final pode ser calculado por:
V(vazio) = [pi.(h - H)/6].[R² + R.R' + R'²] ---> (eq8)

Perceba, também, que esse volume vazio da situação final é igual ao volume de água inicial:
V(vazio) = V(água) => [pi.(h - H)/6].[R² + R.R' + R'²] = (pi.r².h)/6 => (eq4):
(Obs: Agora vou usar LaTeX para ficar melhor de enxergar)




Substituindo a expressão acima em (eq7), vem:




Enfim, foi assim que eu cheguei nessa equação.
Vou tentar resolvê-la aqui e, se conseguir, posto.

Coloquei a equação no Wolfram e obtive uma resposta gigantesca:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=H+-+%287*h%5E3%29%2F%5B2*%28-h%5E2%2B4+h+H%2B2+H%5E2-2+h+sqrt%28-2+h%5E2%2B6+h+H%2BH%5E2%29%2B2+H+sqrt%28-2+h%5E2%2B6+h+H%2BH%5E2%29%29%5D%3D0