Semelhança + Soma dos termos de PG.

por 0Kelvin Qui 08 Out 2015, 16:18

A figura mostra um triângulo ABP, retângulo, em B, sendo AB = 30 e BO = 40. Traça-se BC perpendicular a AP, depois CD perpendicular a BP, em seguida DE perpendicular a AP, e assim sucessivamente.

Calcule a soma infinita AB + BC + CD + DE +EF ...

Semelhança + Soma dos termos de PG. Vxems

Semelhança + Soma dos termos de PG. Vxems

A)100

B)110

c)120

d)130

e)150

Resposta : E

Obs: O problema não é nem a soma dos termos da PG., mas usar a semelhança. Consegui encontrar BC = 24, mas não consigo desenvolver o cálculo pra achar CD. Desde já agradeço pessoal ! xD

por **Gabriel Cluchite** Qui 08 Out 2015, 17:59

Semelhança + Soma dos termos de PG. HcIS3QN

Então:

a1=x=30
a2=y
a3=g
...
a(n-1)=z
an=n

Como todos os triângulos são semelhantes, eu vou usar a razão de semelhança 40/50. Essa razão será universal uma vez que TODAS as medidas que eu quero são opostas ao ângulo vermelho e o reto.

40/50=y/30=g/y=...=n/z

ou seja

4/5=a2/a1=a3/a2=...=an/a(n-1)

Portanto a própria razão de semelhança que eu escolhi é a razão dessa PG decrescente.

Agora basta calcular pela fórmula da soma da PG infinita

Sn=a1/q-1
Sn=30/4/5-1
Sn=150

por Shino Sáb 17 Out 2015, 21:16

A resolução está correta. Kelvin você disse que encontrou o valor de 24 no seguimento BC então como o enunciado já menciona que é uma PG bastava você encontrar a razão pois já possui A1 e A2, sendo assim aplicava a formula da soma ilimitada decrescente, como nosso amigo Gabriel fez (a não ser que seja de seu interesse querer calcular os segmentos restantes).