Pg - Soma dos termos

por reloadgms Dom 18 Jun 2017, 11:31

Unesp-SP Seja Sn = $\frac{1}{2^{1}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}}...+ \frac{1}{2^{n}}$ , n número natural diferente de 0. O menor número n tal que Sn > 0,99 é

a)5
b)6
c)7
d)8
e)9

Como posso resolver sem utilizar log na resolução?

por **ivomilton** Dom 18 Jun 2017, 12:15

reloadgms escreveu:Unesp-SP Seja Sn = $\frac{1}{2^{1}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}}...+ \frac{1}{2^{n}}$ , n número natural diferente de 0. O menor número n tal que Sn > 0,99 é

a)5
b)6
c)7
d)8
e)9

Como posso resolver sem utilizar log na resolução?

Bom dia, reloadgms.

Reescrevendo em forma de expoentes negativos, fica:

2-¹ + 2-² + 2-³ + ... + 2-ⁿ

Sn = a1 * (qⁿ - 1) / (q-1)

Sn = 2-¹ * [(2-¹)ⁿ - 1] / (2-¹ - 1) = (2^(-n-1) - 2-¹) / (2-¹ - 1)

........ 2^-(n+1) - 2-¹ ..... 2^[1/(n+1)] - 1/2
Sn = ------------------- = -----------------------
............. 1/2 - 1 .................... - 1/2

2^[1/(n+1)] - 1/2
---------------------- > 0,99
.......... - 1/2

..... 1 ....... 1
---------- - ---- > -0,99/2
2^(n+1) .. 2

.... 1 ......... -0,99 ..... 1
---------- > ------- + -----
2^(n+1) ...... 2 ........ 2

.... 1 ......... 0,01
---------- > -------
2^(n+1) ...... 2

.... 1 ............ 1
---------- > -------
2^(n+1) .... 200

2^(n+1) < 200

Potências = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128| 256
Expoentes= 1, 2, 3, _4, _5, _6, __7| __8

Logo,
n+1 = 8
n = 7

Alternativa C

Um abraço.

por reloadgms Ter 27 Jun 2017, 16:34

Muito obrigado, me ajudou bastante a entender.

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