Subespaço vetoriais do R^3

1-        No espaço vetorial R^3 consideremos os seguintes subespaços:
U={ (x,y,z) | x=0} , V = { (x,y,z) | y-2z=0 } e W=[(1,1,0), (0,0,2)].
Determinar uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços
a)     U
b)    V
c)     W

d)    U  Ո V

a) U = {(x, y, z) | x = 0} temos então que todos os vetores desse subespaço serão da forma (0, y, z)

Observe que podemos escrever qualquer vetor de U na seguinte forma:
(0, y, z) = y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)
Logo U = [(0, 1, 0), (0, 0, 1)] <--- espaço gerado

Uma base para U seria {(0 ,1 ,0), (0 ,0 ,1)} pois todos os vetores de U podem ser escritos como combinação linear desses 2 vetores. E a dimensão seria: dim(U) = 2.

d) U Ո V é o conjunto de vetores que percebem à ambos os subespaços.

Sendo U={ (x,y,z) | x=0} e V = { (x,y,z) | y-2z=0 }
Vemos que U Ո V ={(x,y,z) | x=0 e y-2z=0}

Temos então que todos os vetores de U Ո V serão da forma (0, 2z, z) podemos reescrever esse vetor:
(0, 2z, z) = z(0,1,1) + z(0,1,0)

Uma das base possíveis para U Ո V seria o conjunto {(0,1,1), (0,1,0)} e dim(U Ո V) = 2.

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