Calculo de pontos críticos.

por C. Alves Ter 06 Out 2015, 22:05

Boa noite. Não consegui resolver a letra c da questão. Quem puder me dar uma ajuda, ficaria grata.

Para construir um cone circular reto remove-se um setor de uma folha circular de cartolina
de raio 10 cm e unem-se as duas margens retilíneas do corte, conforme a figura ao lado,
em que a indica o angulo do setor circular restante em radianos. O objetivo desse exercício
e determinar os ângulos a que fornecem os cones de maior volume. Uma vez montado o
cone, denote sua altura por h e seu raio da base por r, de modo que seu volume e dado
por (1/3)r²h.
(a) Lembrando que o perímetro do setor circular ao lado e igual a
10a, obtenha a expressão de r em função do angulo a.
(b) Determine o volume do cone obtido em função do angulo a.
(c) Determine o angulo a0 para o qual o volume do cone obtido seja o maior possível.

Calculo de pontos críticos. 2el9zk2

por **Carlos Adir** Ter 06 Out 2015, 23:03

Questão 2 - Lista de Aplicação - Semana 9.

Temos que o volume do cone é dado por:
V = (1/3) Area da base x altura.
Contudo, temos que Altura é dado por:
h² + r² = G², onde G é a geratriz e r é o raio da base:
Calculo de pontos críticos. A6uxppp

Mas temos que G = Raio da circunferência maior.
E sabemos também que 2pi . r = arco da cirunferência = a . R
Portanto, temos que r = a . R / 2pi
Substituindo na expressão do volume, temos:
Volume = (1/3) . pi . r² . h
Volume = (1/3) . pi . [ a . R / 2pi] ² . [√(R²-r²)]
Volume = (1/3) . [a² . R² / (4 . pi)] . [R . √(4 pi² - a²)]
Volume = [R³/(12 pi)] . a²[√(4pi² - a²)]
Assim, temos que R é constante(foi dado pelo enunciado), e pi é um número. portanto, tmeos o volume em função do arco:
V(a) = [R³/(12 pi)] . a²[√(4pi² - a²)]
Agora é só achar o ponto de máximo do volume. Basta derivar e igualar a zero.

Espero que esteja aprendendo. Um Ctrl+C e um Ctrl+V pode garantir um pouco de nota, mas não garante em uma prova Very Happy

por C. Alves Qua 07 Out 2015, 07:41

Ola Carlos. Eu tenho a apostila com as soluções. Só que prefiro tentar fazer do que simplesmente copiar. Voltando a questão, eu já derivei e igualei a 0 só que não consigo chegar a 2π √2/3

por C. Alves Qua 07 Out 2015, 19:21

Ola Carlos.

Eu finalmente consegui entender porque não estava dando a resposta. Eu não fatorei o 200 e o 75. De modo que ao manipular os cálculos, eu encontro 2π √2/3. Mas de qualquer forma, obrigada pela ajuda e pela atenção.

por **Carlos Adir** Qua 07 Out 2015, 19:43

Vi só agora. Coloque-nos sua resolução para nós. Assim pode ajudar outros que precisem da questão Very Happy

por C. Alves Dom 11 Out 2015, 08:56

por **Carlos Adir** Dom 11 Out 2015, 09:41

Eu achei um resultado diferente do teu:
$\\ \mathrm{V(a)=\dfrac{50 \pi^2}{3 } \cdot a^2 \sqrt{100\pi^2-25a^2}}$
Uma dica: Fatore e não trabalhe muito com números. Quanto mais escreve, maior a possibilidade de erro em alguma passagem. Eu achei 50pi², enquanto tu achaste 25pi. Poderiamos reescrever a expressão do volume como:
$\\ \mathrm{V(a)=\dfrac{50 \pi^2}{3 } \cdot a^2 \sqrt{25\left(4\pi^2-a^2 \right )}=\dfrac{250\pi^2 a^2}{3}\sqrt{4\pi^2-a^2}}$

Aí a derivada fica até mais simples. A expressão (250pi²/3) é constante, e então é necessário derivar somente a parte da raiz:
$\\ \mathrm{\dfrac{dV(a)}{da}=\dfrac{d}{da}\left(\dfrac{250\pi^2 a^2}{3}\sqrt{4\pi^2-a^2} \right )=\dfrac{250\pi^2}{3} \dfrac{d}{da} \left(a^2\sqrt{4\pi^2-a^2} \right )} \\ \mathrm{\dfrac{dV(a)}{da}=\dfrac{250\pi^2}{3} \left[2a \sqrt{4\pi^2-a^2} + \dfrac{-a^3}{\sqrt{4\pi^2-a^2}} \right ]=} \\ \mathrm{=\dfrac{250\pi^2}{3} \left[\dfrac{a}{\sqrt{4\pi^2-a^2}} \left[2(4\pi^2-a^2)-a^2 \right ] \right ]=} \\ \mathrm{=\dfrac{250\pi^2}{3} \cdot \dfrac{a}{\sqrt{4\pi^2-a^2}}\left[8\pi^2-3a^2 \right ]}$
E então se igualarmos a zero:
$\\ \mathrm{\dfrac{dV(a)}{da}={\color{Red} \dfrac{250\pi^2}{3}} \cdot \dfrac{a}{{\color{Red} \sqrt{4\pi^2-a^2}}}\left[8\pi^2-3a^2 \right ]=0} \\ \mathrm{a \left[8\pi^2-3a^2 \right ]=0 \Rightarrow} \begin{cases}\mathrm{a=0} \\ \mathrm{8\pi^2-3a^2=0} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\mathrm{a=0} \\ \mathrm{a = 2\pi \sqrt{\dfrac{2}{3}}} \\ \mathrm{a=-2 \pi \sqrt{\dfrac{2}{3}}} \end{cases}$
Então, teremos que como a difere de zero e também não é negativo, a=2pi √(2/3)

Eu vi que você sumiu com um a:
Calculo de pontos críticos. N6Go8en

E percebi também que você não derivou dentro da raiz. Isto é, segundo tua resolução:
$\\ \mathrm{V(a)=\dfrac{25\pi}{3}a^2\left(100\pi^2-25a^2 \right )^{1/2}} \\ \mathrm{V'(a)=\dfrac{25\pi}{3} \cdot (2a) \left(100\pi^2-25a^2 \right )^{1/2}+25 \cdot a^2 \cdot \dfrac{1}{2\left(100\pi^2-25a^2 \right )^{1/2}}} \\ \mathrm{V'(a)=\dfrac{25\pi}{3} \cdot (2a) \left(100\pi^2-25a^2 \right )^{1/2}+\dfrac{25 {\color{Red} \pi}}{{\color{Red} 3}} \cdot a^2 \cdot \dfrac{1}{2\left(100\pi^2-25a^2 \right )^{1/2}} \cdot {\color{Red} (-25 \cdot 2a)}}$
O vermelho foi onde faltou.