Pontos críticos

Determine os pontos críticos da funçao: f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2, sabendo que x+y+z-1=0 e x-2y+z-1=0. Classifique-os em (mínimo local, máximo local ou sela)

Basta usar a Formula de Langrage, que relaciona uma funcao generica(x,yz) em uma funcao langrageana(,x,y,lambda) de modo a obter extremos condicionantes. Em que e dada por:

L(x,y,z)= f(x,y,z) - Lambda.g(x,y,z)

Logo facamos DL/Dx=0; DL/Dy=0; DL/Dz=0 e g(x,y,z)=0 ou DL/D(Lambda).
Logo seja f(x,y,z)= x^2+y^2+z^2 ^(e) g(x,y,z)= x+y+z-1

Temos, L(x,y,z)= X^2+y^2+z^2-Lambda.(x+y+z-1)

Derive agora em funcao de x, y, z e Lambda a funcao L(x,y,z).

Teremos um Sistema de Equacoes dado por:
2x-Lambda=0
2y-lambda=0
2z-lambda=0
x-2y+z-1=0 Logo basta resolver esse Sistema, e achar os valores de X,Y,Z e Lambda. se o seu Lambda for negative, logo ha um maximo no ponto P(x,y,z) se o seu lambda for positive, logo ha um minimo no ponto P(x,y,z), o ponto sela, existe se o determinante der um valor negative, ou seja, D<0.

Espero ter ajudado.

Agora, ha casos em que podem pedir juntamente, interpretei como se estivessem a tartar de restricoes em separado, mas podem pedir com duas restricoes, tudo junto ai a formula da funcao langreana muda, e uma particularidade muito interessante pois muitos estao habituados a enunciados do primeiro genero, resolver em separado, podem pedir no caso de ser os dois em simultaneo, e achar os candidatos extremos condicionados. Logo, a formula sera:

L(x,y,z,Lambda,Micro)= f(x,y,z)-Lambda.g(x,y,z)-Micro.h(x,y,z).

Sendo f(x,y,z)=X^2+y^2+z^2; g(x,y,z)=(x+y+z-1); h(x,y,z)= x-2y+z-1

Logo basta fazer DL/Dx; DL/Dy; DL/Dz; DL/D(Lambda); DL/D(Micro), igualar tudo a zero ou seja fazer a gradient da funcao langrageana de estrutura " complexa" , e criar um Sistema de Equacoes determinando todas as incognitas, X,Y,Z,Lambda e Micro-> P(x,y,z). E Avaliar geometricamente, de modo a saber a classificacao.